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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0010
10 (A. 2)
PAUL SlÄCKEL:
Damit eine Folge 2 d^ ..., 2 d„ auf der ersten Stufe
als Differenzenfolge erscheint, ist notwendig und
hinreichend, daß sie entweder höchstens eine nicht
durch 3 teilbare Zahl enthält oder daß beim Durch-
laufen der Folge Zahlen der beiden Formen 67^+ 2
und 6%i + 4 miteinander abwechseln. Die nicht durch
3 teilbaren Differenzen dürfen durch beliebig lange
Folgen durch 3 teilbarer Differenzen getrennt sein.
Zum Beweis beachte man, daß erstens die Differenzen der
benachbarten Lückenzahlen erster Stufe die periodische Folge
2,4,2,4,... bilden und zweitens jede Zahl der Form 677-1 + 2 als
eine Summe (2 + 4) +(2 + 4)-}-(2 + 4) + 2 dargestellt werden
kann, jede Zahl der Form 6^ + 4 als eine Summe (4+2)+ (4+2)
-i-(4+2) + 4, jede Zahl der Form 677-1 aber in der doppelten
Gestalt (2+4) + (2+4) + -.. + (2+4) oder (4+2) + (4+2) + --- + (4+2).
Wenn man die Differenzen 2di,...,2d„ in Summen der angegebe-
nen Art auflöst, so muß die periodische Folge 2,4, 2,4, ... heraus-
kommen, und das ist nur möglich, falls die angegebenen Bedin-
gungen erfüllt sind.
Alan kann auch folgendermaßen Vorgehen. Damit eine Diffe-
renzenfolge 2di,..., 2d„ auf der r-ten Stufe zulässig ist, muß es
mindestens eine Lückenzahl des Hauptabschnittes r-ter Stufe
geben, sodaß auch die /z Zahlen &, + 2<?i, z^ + 2ug, . ..,zj,, + 2cr„ Lücken-
zahlen r-ter Stufe sind. Es darf daher keine dieser Zahlen durch
3 teilbar sein, und die Lückenzahlen zj, sind zu verwerfen, bei
denen Teilbarkeit durch 3 eintritt. Betrachfen wir zuerst ^ + 2a^
= ^ + 2d^. Ist 2di durch 3 teilbar, so braucht keine der Zahlen zj,
verworfen zu werden. Ist 2di durch 3 teilbar, so entfallen die
Zahlen zj, der Form 67?i+l oder der Form 67++5, je nachdem l+2di
oder 5 + 2di durch 3 teilbar ist, sodaß immer die eine Hälfte der
Lückenzahlen ausscheidet. Beim Übergang zu z^ + 2(?2 = z7,, + 2di + 2d2
wiederholen sich diese Schlüsse. Ist 2dg durch 3 teilbar, so ver-
bleiben die noch vorhandenen Zahlen z^, und je nachdem l + 2dg
oder 5 + 2dg durch 3 teilbar ist, sind die Zahlen zj,+ 2di der Form
6731+I oder der Form 677-1+5 zu verwerfen. Damit Zahlen übrig-
bleiben, muß demnach entweder mindestens eine der Differenzen
2di, durch 3 teilbar sein oder die eine die Form 67^ + 2, die
andere die Form 67^1 +4 haben.
Indem man so weiter schließt, erhellt, daß das vorher aus-
gesprochene Kennzeichen für alle Stufen notwendig, für die erste
PAUL SlÄCKEL:
Damit eine Folge 2 d^ ..., 2 d„ auf der ersten Stufe
als Differenzenfolge erscheint, ist notwendig und
hinreichend, daß sie entweder höchstens eine nicht
durch 3 teilbare Zahl enthält oder daß beim Durch-
laufen der Folge Zahlen der beiden Formen 67^+ 2
und 6%i + 4 miteinander abwechseln. Die nicht durch
3 teilbaren Differenzen dürfen durch beliebig lange
Folgen durch 3 teilbarer Differenzen getrennt sein.
Zum Beweis beachte man, daß erstens die Differenzen der
benachbarten Lückenzahlen erster Stufe die periodische Folge
2,4,2,4,... bilden und zweitens jede Zahl der Form 677-1 + 2 als
eine Summe (2 + 4) +(2 + 4)-}-(2 + 4) + 2 dargestellt werden
kann, jede Zahl der Form 6^ + 4 als eine Summe (4+2)+ (4+2)
-i-(4+2) + 4, jede Zahl der Form 677-1 aber in der doppelten
Gestalt (2+4) + (2+4) + -.. + (2+4) oder (4+2) + (4+2) + --- + (4+2).
Wenn man die Differenzen 2di,...,2d„ in Summen der angegebe-
nen Art auflöst, so muß die periodische Folge 2,4, 2,4, ... heraus-
kommen, und das ist nur möglich, falls die angegebenen Bedin-
gungen erfüllt sind.
Alan kann auch folgendermaßen Vorgehen. Damit eine Diffe-
renzenfolge 2di,..., 2d„ auf der r-ten Stufe zulässig ist, muß es
mindestens eine Lückenzahl des Hauptabschnittes r-ter Stufe
geben, sodaß auch die /z Zahlen &, + 2<?i, z^ + 2ug, . ..,zj,, + 2cr„ Lücken-
zahlen r-ter Stufe sind. Es darf daher keine dieser Zahlen durch
3 teilbar sein, und die Lückenzahlen zj, sind zu verwerfen, bei
denen Teilbarkeit durch 3 eintritt. Betrachfen wir zuerst ^ + 2a^
= ^ + 2d^. Ist 2di durch 3 teilbar, so braucht keine der Zahlen zj,
verworfen zu werden. Ist 2di durch 3 teilbar, so entfallen die
Zahlen zj, der Form 67?i+l oder der Form 67++5, je nachdem l+2di
oder 5 + 2di durch 3 teilbar ist, sodaß immer die eine Hälfte der
Lückenzahlen ausscheidet. Beim Übergang zu z^ + 2(?2 = z7,, + 2di + 2d2
wiederholen sich diese Schlüsse. Ist 2dg durch 3 teilbar, so ver-
bleiben die noch vorhandenen Zahlen z^, und je nachdem l + 2dg
oder 5 + 2dg durch 3 teilbar ist, sind die Zahlen zj,+ 2di der Form
6731+I oder der Form 677-1+5 zu verwerfen. Damit Zahlen übrig-
bleiben, muß demnach entweder mindestens eine der Differenzen
2di, durch 3 teilbar sein oder die eine die Form 67^ + 2, die
andere die Form 67^1 +4 haben.
Indem man so weiter schließt, erhellt, daß das vorher aus-
gesprochene Kennzeichen für alle Stufen notwendig, für die erste