Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 11
Stufe aber, bei der es nur auf die Teilbarkeit durch 3 ankommt,
auch hinreichend ist.
Für die Anwendung des Kennzeichens erster Stufe
sind alle /r-gliedrigen Folgen gleichwertig, bei denen sich die Dif-
ferenzen gleichen Zeigers um Vielfache von 6 unterscheiden. Mit-
hin ergeben sich sämtliche /z-gliedrige Folgen erster Stufe, wenn
man zunächst die /z-gliedrigen Grundfolgen bildet, bei denen
2^, ...,2d„ nur einen der drei Werte 2,4,6 haben. Es gibt nur
eine endliche Anzahl solcher Grundfolgen. Aus ihnen
erhält man alle übrigen zulässigen Folgen, indem zu den Zahlen
der Folgen beliebige Vielfache von 6 hinzugefügt werden.
In der umstehenden Tafel 10 sind die zulässigen Grund-
folgen für ^. = 1, 2,3,4 zusammengestellt worden. Sie sind inner-
halb der gleichgliedrigen Gruppen nach dem Gewicht geordnet.
Wenn die umgekehrte Folge von der ursprünglichen verschieden
ausfällt, so findet man in der Tafel immer nur die eine der beiden
Folgen angegeben.
Wird nunmehr zur Primzahl 3 die Primzahl 5 hinzugenommen,
so gelangt man zu einem Kennzeichen zweiter Stufe, das
für alle Stufen, von der zweiten ab, notwendig, für diese aber
auch hinreichend ist. Es läßt sich so aussprechen. Zu den 8 Lücken-
zahlen zweiter Stufe
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
addiere man zuerst die Differenz 2d^ und verwerfe alle Zahlen zjg,
bei denen ^ + 26^ durch 3 oder 5 teilbar ist. Zu den übrigbleiben-
den Zahlen zig + 2d^ addiere man 2 dg und verwerfe alle Zahlen zjg,
bei denen ^g + 2d^ + 2dg durch 3 oder 5 teilbar ist. Ebenso verfahre
man mit 2dg, ...,2d„. Schließlich verbleiben nur die Zahlen fg! die
zulässig sind, oder das Verfahren führt zu der Einsicht, daß die
Folge unzulässig ist.
Weil es für das Kennzeichen zweiter Stufe nur auf die Teil-
barkeit durch 3 und 5 ankommt, darf man die Zahlen 2d^, ...,2d,^
durch ihre Reste bei der Division durch 30 ersetzen, sodaß nur
Zahlen der Reihe 2,4, ...,28,30 auftreten. Auf der zweiten Stufe
ergibt sich dann wieder für /z = l,2,3,... je eine endliche An-
zahl zulässiger Grundformen. Man findet ferner, daß die
ein-, zwei- und dreigliedrigen Grundformen erster Stufe zulässig
bleiben. Dagegen werden von den viergliedrigen Grundfolgen un-
zulässig:
Stufe aber, bei der es nur auf die Teilbarkeit durch 3 ankommt,
auch hinreichend ist.
Für die Anwendung des Kennzeichens erster Stufe
sind alle /r-gliedrigen Folgen gleichwertig, bei denen sich die Dif-
ferenzen gleichen Zeigers um Vielfache von 6 unterscheiden. Mit-
hin ergeben sich sämtliche /z-gliedrige Folgen erster Stufe, wenn
man zunächst die /z-gliedrigen Grundfolgen bildet, bei denen
2^, ...,2d„ nur einen der drei Werte 2,4,6 haben. Es gibt nur
eine endliche Anzahl solcher Grundfolgen. Aus ihnen
erhält man alle übrigen zulässigen Folgen, indem zu den Zahlen
der Folgen beliebige Vielfache von 6 hinzugefügt werden.
In der umstehenden Tafel 10 sind die zulässigen Grund-
folgen für ^. = 1, 2,3,4 zusammengestellt worden. Sie sind inner-
halb der gleichgliedrigen Gruppen nach dem Gewicht geordnet.
Wenn die umgekehrte Folge von der ursprünglichen verschieden
ausfällt, so findet man in der Tafel immer nur die eine der beiden
Folgen angegeben.
Wird nunmehr zur Primzahl 3 die Primzahl 5 hinzugenommen,
so gelangt man zu einem Kennzeichen zweiter Stufe, das
für alle Stufen, von der zweiten ab, notwendig, für diese aber
auch hinreichend ist. Es läßt sich so aussprechen. Zu den 8 Lücken-
zahlen zweiter Stufe
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
addiere man zuerst die Differenz 2d^ und verwerfe alle Zahlen zjg,
bei denen ^ + 26^ durch 3 oder 5 teilbar ist. Zu den übrigbleiben-
den Zahlen zig + 2d^ addiere man 2 dg und verwerfe alle Zahlen zjg,
bei denen ^g + 2d^ + 2dg durch 3 oder 5 teilbar ist. Ebenso verfahre
man mit 2dg, ...,2d„. Schließlich verbleiben nur die Zahlen fg! die
zulässig sind, oder das Verfahren führt zu der Einsicht, daß die
Folge unzulässig ist.
Weil es für das Kennzeichen zweiter Stufe nur auf die Teil-
barkeit durch 3 und 5 ankommt, darf man die Zahlen 2d^, ...,2d,^
durch ihre Reste bei der Division durch 30 ersetzen, sodaß nur
Zahlen der Reihe 2,4, ...,28,30 auftreten. Auf der zweiten Stufe
ergibt sich dann wieder für /z = l,2,3,... je eine endliche An-
zahl zulässiger Grundformen. Man findet ferner, daß die
ein-, zwei- und dreigliedrigen Grundformen erster Stufe zulässig
bleiben. Dagegen werden von den viergliedrigen Grundfolgen un-
zulässig: