24 (A. 2)
PAUL S'rÄCKEL:
Nach Tafel 12 ist 77^(2,4,2) = P)*\ also S*(2,4,2)= f. Alithm A\ürd
(112") 1F^(6^) - 77^''-^(6^) ,
das heißt, die Wachstu ms funktion für die Anzahl der
Zwillingsdarstellungen der durch 6 teilbaren Zah-
len ist asymptotisch gleich der Anzahl der viein-
gliedrigen Pr imzahl folgen mit den Differenzen 2,4,2.
In der Tafel 8 war als Wert der Wachstnmsfunktion IF^(6?Zi) für
den Bereich von 15 600 bis 15900 zwölf verzeichnet worden. Das
stimmt gut mit der Tatsache, daß nach Tafel 14 (15600) = 13
ist; allerdings steigt der Wert der 77-Funktion in dem angegebenen
Bereich bis 15, weil zufällig die Vierlinge Nr. 14 und 15 rasch auf-
einanderfolgen.
§ 13
Die Folge der Urdifferenzen r-ter Stufe und ihre Absehuitte
Man denke sich die Lückenzahlen r-ter Stufe, mit der Eins
beginnend, der Größe nach geordnet und bilde die Differenz von
je zwei benachbarten Gliedern der Folge. Die so entstehen-
den Zahlen 2H^,2zl2?--- sollen die Urdil'ferenzen r-ter Stufe
genannt werden; denn die Differenz von zwei Lückenzahlen r-ter
Stufe, die nicht benachbart sind, läßt sich stets als Summe von
Differenzen benachbarter Lückenzahlen darstellen.
Die ersten P)*) Urdifferenzen wiederholen sich beständig. Man
hat in ihnen den Hauptabschnitt der Urdifferenzen. Erbe-
ginnt mit der Zahl 1, er endet mit der Zahl 2 als Differenz
von 2P,—1 und 2P,+ 1. Auch die in der Mittb stehenden Ur-
differenzen lassen sich nach den Bemerkungen in § 1 leicht an-
geben; sie sind (von der zweiten Stufe ab): 4,2,4,2,4. Für die
folgenden Betrachtungen empfiehlt es sich, die Urdifferenzen des
Hauptabschnittes kreisförmig anzuordnen, sodaß auf die letzte
Zahl 2 wieder p,_^—1 folgt. Diese 2 und die in der Mitte befind-
liche 4 sind dann Symmetriezentra für die Urdifferenzen. Hieraus
folgt, daß, von 2 und 4 abgesehen, die Zahl U,(2/1^), die angibt,
wie oft die Urdifferenz 2Z)^ im Hauptabschnitt r-ter Stufe vor-
kommt, gerade ist. U,(2) und U,(4) sind dagegen ungerade; man
erkennt das auch leicht aus den Gleichungen
(113) V(2) - P,(2) = Pf ,
(114) P,(4) = P,(4) = Pf.
PAUL S'rÄCKEL:
Nach Tafel 12 ist 77^(2,4,2) = P)*\ also S*(2,4,2)= f. Alithm A\ürd
(112") 1F^(6^) - 77^''-^(6^) ,
das heißt, die Wachstu ms funktion für die Anzahl der
Zwillingsdarstellungen der durch 6 teilbaren Zah-
len ist asymptotisch gleich der Anzahl der viein-
gliedrigen Pr imzahl folgen mit den Differenzen 2,4,2.
In der Tafel 8 war als Wert der Wachstnmsfunktion IF^(6?Zi) für
den Bereich von 15 600 bis 15900 zwölf verzeichnet worden. Das
stimmt gut mit der Tatsache, daß nach Tafel 14 (15600) = 13
ist; allerdings steigt der Wert der 77-Funktion in dem angegebenen
Bereich bis 15, weil zufällig die Vierlinge Nr. 14 und 15 rasch auf-
einanderfolgen.
§ 13
Die Folge der Urdifferenzen r-ter Stufe und ihre Absehuitte
Man denke sich die Lückenzahlen r-ter Stufe, mit der Eins
beginnend, der Größe nach geordnet und bilde die Differenz von
je zwei benachbarten Gliedern der Folge. Die so entstehen-
den Zahlen 2H^,2zl2?--- sollen die Urdil'ferenzen r-ter Stufe
genannt werden; denn die Differenz von zwei Lückenzahlen r-ter
Stufe, die nicht benachbart sind, läßt sich stets als Summe von
Differenzen benachbarter Lückenzahlen darstellen.
Die ersten P)*) Urdifferenzen wiederholen sich beständig. Man
hat in ihnen den Hauptabschnitt der Urdifferenzen. Erbe-
ginnt mit der Zahl 1, er endet mit der Zahl 2 als Differenz
von 2P,—1 und 2P,+ 1. Auch die in der Mittb stehenden Ur-
differenzen lassen sich nach den Bemerkungen in § 1 leicht an-
geben; sie sind (von der zweiten Stufe ab): 4,2,4,2,4. Für die
folgenden Betrachtungen empfiehlt es sich, die Urdifferenzen des
Hauptabschnittes kreisförmig anzuordnen, sodaß auf die letzte
Zahl 2 wieder p,_^—1 folgt. Diese 2 und die in der Mitte befind-
liche 4 sind dann Symmetriezentra für die Urdifferenzen. Hieraus
folgt, daß, von 2 und 4 abgesehen, die Zahl U,(2/1^), die angibt,
wie oft die Urdifferenz 2Z)^ im Hauptabschnitt r-ter Stufe vor-
kommt, gerade ist. U,(2) und U,(4) sind dagegen ungerade; man
erkennt das auch leicht aus den Gleichungen
(113) V(2) - P,(2) = Pf ,
(114) P,(4) = P,(4) = Pf.