26 (A. 2)
PAUL STÄCKEL:
DupRE ist es nicht gelungen, eine obere Grenze für 2y, zu
finden. Als Ersatz gibt er das Theorem, daß der mittlere Wert
der Urdifferenzen mit r über alle Grenzen wächst. Mittels der
Formeln von MERTENS läßt sich sogar ein einfacher asymptoti-
scher Wert dafür herleiten. Die Summe der Pj^ Urdifferenzen des
Hauptabschnittes ist nämlich offenbar 2P,, demnach ist der mitt-
lere Wert
(115)
2P,
Pf
c^-logp, .
Im Durchschnitt gibt es also unter yC-^-logp, aufeinanderfolgen-
den ungeraden Zahlen eine Lückenzahl r-ter Stufe.
§ 14
Die U-Funktionen
Die Schwierigkeiten, die bei der Ermittelung einer oberen
Grenze für die Urdifferenzen auftreten, haben ihren Grund darin,
daß es nicht möglich ist, eine einfache Formel für die Zahl P,(2zlJ
aufzustellen, die angibt, wie oft eine gegebene Urdifferenz 2H„ im
Hauptabschnitt vorkommt. Wenn man nämlich von der r-ten
Stufe zur (r+l)-ten übergeht, so entsteht die Urdifferenz 2/f auf
zwei Arten. Erstens können, wie früher bei der Differenz 2(5,
zwei Lückenzahlen r-ter Stufe mit der Differenz 2zf auf der folgen-
den Stufe Lückenzahlen bleiben; zweitens aber können Ur-
differenzen r-ter Stufe beim Übergang auf die folgende Stufe mit-
einander verschmelzen und so die Urdifferenz 2/)„ erzeugen. Die
Formel für P^_^_](2z!^) setzt sich daher aus zwei wesentlich ver-
schiedenen Teilen zusammen, die für sich ermittelt werden müssen.
Um den ersten Teil zu bestimmen, verfährt man auf die
gewohnte Art. Aus einem Paar von Lückenzahlen r-ter Stufe zy und
&, + 2zü mit der Urdifferenz 2xü entspringen p,^ Zahlenpaare
2P,.p + zy und 2P,p + p, + 2zü, unter denen die unmittelbar
übertragenen Lückenzahlpaare des Hauptabschnittes (r-t-l)-ter
Stufe enthalten sind. Diese Paare ergeben sich, wenn man p aus
der Reihe 0,1, 2, ...,p,,_^—1 so wählt, daß keine der beiden Zahlen
des Paares durch p^^ teilbar ist. Bei genügend hoher Stufenzahl
ist der Beitrag zu P^^(2zlJ gleich P^(2zlJ-(p^^—2).
PAUL STÄCKEL:
DupRE ist es nicht gelungen, eine obere Grenze für 2y, zu
finden. Als Ersatz gibt er das Theorem, daß der mittlere Wert
der Urdifferenzen mit r über alle Grenzen wächst. Mittels der
Formeln von MERTENS läßt sich sogar ein einfacher asymptoti-
scher Wert dafür herleiten. Die Summe der Pj^ Urdifferenzen des
Hauptabschnittes ist nämlich offenbar 2P,, demnach ist der mitt-
lere Wert
(115)
2P,
Pf
c^-logp, .
Im Durchschnitt gibt es also unter yC-^-logp, aufeinanderfolgen-
den ungeraden Zahlen eine Lückenzahl r-ter Stufe.
§ 14
Die U-Funktionen
Die Schwierigkeiten, die bei der Ermittelung einer oberen
Grenze für die Urdifferenzen auftreten, haben ihren Grund darin,
daß es nicht möglich ist, eine einfache Formel für die Zahl P,(2zlJ
aufzustellen, die angibt, wie oft eine gegebene Urdifferenz 2H„ im
Hauptabschnitt vorkommt. Wenn man nämlich von der r-ten
Stufe zur (r+l)-ten übergeht, so entsteht die Urdifferenz 2/f auf
zwei Arten. Erstens können, wie früher bei der Differenz 2(5,
zwei Lückenzahlen r-ter Stufe mit der Differenz 2zf auf der folgen-
den Stufe Lückenzahlen bleiben; zweitens aber können Ur-
differenzen r-ter Stufe beim Übergang auf die folgende Stufe mit-
einander verschmelzen und so die Urdifferenz 2/)„ erzeugen. Die
Formel für P^_^_](2z!^) setzt sich daher aus zwei wesentlich ver-
schiedenen Teilen zusammen, die für sich ermittelt werden müssen.
Um den ersten Teil zu bestimmen, verfährt man auf die
gewohnte Art. Aus einem Paar von Lückenzahlen r-ter Stufe zy und
&, + 2zü mit der Urdifferenz 2xü entspringen p,^ Zahlenpaare
2P,.p + zy und 2P,p + p, + 2zü, unter denen die unmittelbar
übertragenen Lückenzahlpaare des Hauptabschnittes (r-t-l)-ter
Stufe enthalten sind. Diese Paare ergeben sich, wenn man p aus
der Reihe 0,1, 2, ...,p,,_^—1 so wählt, daß keine der beiden Zahlen
des Paares durch p^^ teilbar ist. Bei genügend hoher Stufenzahl
ist der Beitrag zu P^^(2zlJ gleich P^(2zlJ-(p^^—2).