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https://doi.org/10.11588/diglit.36421#0027
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. (A. 2) 27
Die Urdifferenz 2/!^ kann zweitens auf der (r+l)-ten Stufe
dadurch erzeugt werden, daß die Urdifferenzen 2/)^, 2z!^, ...,2H^
eines Abschnittes der Urdifferenzen vom Gewicht 2H^, mitein-
ander verschmelzen. Ist die Anfangszahl eines Abschnittes
der Lückenzahlen r-ter Stufe, zu dem dieser Abschnitt der Ur-
differenzen gehört, so müssen beim Übergang auf die (r+b)-te Stufe
die beiden äußersten Zahlen 2P^4+w, und 2P,A+w,. + 2zü Lücken-
zahlen (r + l)-ter Stufe werden, dagegen alle inneren Zahlen
2U,^ + Wy + 2./ü,...,2.P,.2 + w, + 2zl^ —2/ü durch teilbar sein.
Hieraus folgt, wenn r —u größer als 1 ist, daß die Urdifferenzen
2zü^i,...,2zü_i selbst durch teilbar sein müssen, und das
hört auf, wenn die Stufenzahl r hinreichend groß genommen wird.
Von einer gewissen Stufenzahl ab können also nur zwei benach-
barte Urdifferenzen 2zü und 2zü_^ zur Urdifferenz 2J^ ver-
schmelzen; es ist klar, daß dann 2zü + 2Hg_^ = 2/l^ sein muß. Wenn
noch die Anzahl aller im kreisförmig angeordneten Hauptab-
schnitt r-ter Stufe vorkommenden Abschnitte von Urdifferenzen
2zü,2/ü_^i,...,2/ü mit U,(2,dg,2J^_i, ...,2/ü) bezeichnet wird,
so erzeugt jeder der U,(2/ü, 2/)^^) zweigliedrigen Abschnitte des
Gewichtes 2H^ einmal durch Verschmelzung die Urdifferenz 2/ü,
wenn nämlich 4 so gewählt wird, daß 2Fb4 + aA + 2zü durch
teilbar ist.
Hiermit ist die Formel bewiesen
(116) V+,(2zQ = C,(24,) . (p,+,-2) + 2J 0,(24„ 2,4.+,) ;
die Summe ist über alle Urdifferenzen ?'-ter Stufe 2/ü zu er-
strecken, für die 2J^ + 2zl^^ = 2z)+, wird, oder mit anderen Worten
über alle Zerlegungen der Urdifferenz 2H^, in die Summe von zwei
benachbarten Urdifferenzen.
Wegen der Symmetrieeigenschaften gilt die Gleichung
(117) t/,(24.,24.+,) = M,(24.+„24.) .
Das ist ohne weiteres einleuchtend, falls 2/ü und 2zü_^ von 2
und 4 verschieden sind, gilt aber auch, wie man sich leicht über-
zeugt, wenn eine der Zahlen 2zü,2/ü_^ oder beide gleich 2 oder 4
sind. Demnach wird
(116") V+,(24„) = C,(24,).(p,+,-2) + 22;cy,(24.,24.+,)
mit der Maßgabe, daß 2J.A2zl^i und 2H^+2zl.^ = 2Jg ist.
Die Urdifferenz 2/!^ kann zweitens auf der (r+l)-ten Stufe
dadurch erzeugt werden, daß die Urdifferenzen 2/)^, 2z!^, ...,2H^
eines Abschnittes der Urdifferenzen vom Gewicht 2H^, mitein-
ander verschmelzen. Ist die Anfangszahl eines Abschnittes
der Lückenzahlen r-ter Stufe, zu dem dieser Abschnitt der Ur-
differenzen gehört, so müssen beim Übergang auf die (r+b)-te Stufe
die beiden äußersten Zahlen 2P^4+w, und 2P,A+w,. + 2zü Lücken-
zahlen (r + l)-ter Stufe werden, dagegen alle inneren Zahlen
2U,^ + Wy + 2./ü,...,2.P,.2 + w, + 2zl^ —2/ü durch teilbar sein.
Hieraus folgt, wenn r —u größer als 1 ist, daß die Urdifferenzen
2zü^i,...,2zü_i selbst durch teilbar sein müssen, und das
hört auf, wenn die Stufenzahl r hinreichend groß genommen wird.
Von einer gewissen Stufenzahl ab können also nur zwei benach-
barte Urdifferenzen 2zü und 2zü_^ zur Urdifferenz 2J^ ver-
schmelzen; es ist klar, daß dann 2zü + 2Hg_^ = 2/l^ sein muß. Wenn
noch die Anzahl aller im kreisförmig angeordneten Hauptab-
schnitt r-ter Stufe vorkommenden Abschnitte von Urdifferenzen
2zü,2/ü_^i,...,2/ü mit U,(2,dg,2J^_i, ...,2/ü) bezeichnet wird,
so erzeugt jeder der U,(2/ü, 2/)^^) zweigliedrigen Abschnitte des
Gewichtes 2H^ einmal durch Verschmelzung die Urdifferenz 2/ü,
wenn nämlich 4 so gewählt wird, daß 2Fb4 + aA + 2zü durch
teilbar ist.
Hiermit ist die Formel bewiesen
(116) V+,(2zQ = C,(24,) . (p,+,-2) + 2J 0,(24„ 2,4.+,) ;
die Summe ist über alle Urdifferenzen ?'-ter Stufe 2/ü zu er-
strecken, für die 2J^ + 2zl^^ = 2z)+, wird, oder mit anderen Worten
über alle Zerlegungen der Urdifferenz 2H^, in die Summe von zwei
benachbarten Urdifferenzen.
Wegen der Symmetrieeigenschaften gilt die Gleichung
(117) t/,(24.,24.+,) = M,(24.+„24.) .
Das ist ohne weiteres einleuchtend, falls 2/ü und 2zü_^ von 2
und 4 verschieden sind, gilt aber auch, wie man sich leicht über-
zeugt, wenn eine der Zahlen 2zü,2/ü_^ oder beide gleich 2 oder 4
sind. Demnach wird
(116") V+,(24„) = C,(24,).(p,+,-2) + 22;cy,(24.,24.+,)
mit der Maßgabe, daß 2J.A2zl^i und 2H^+2zl.^ = 2Jg ist.