Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. II. . (A. 2) 39
und
W,, W,+ 2(?1, w,+ 2(?2,..., w, + 2u„ ,
und schreibt die zweite Folge in umgekehrter Ordnung unter die
erste, so hat die Summe von je zwei untereinander stehenden
Gliedern immer denselben Wert, denn es ist wegen der Symmetrie
(148) (&J+2(7,,_i) + (w^ + 2u„_^) = zy + w,+ 2u„, .
Man erhält demnach mittels der (p + l)-gliedrigen Lückenzahlfolgen
r-ter Stufe, denen symmetrische Differenzen zukommen, (p + 1)-
fache Darstellungen der geraden Zahlen z^ + w^ + 2u„. Ihre Anzahl
werde mit 6^*h""'W<)(2n) bezeichnet.
Alan wird vermuten, daß nach dem Vorbild der Gleichung (82)
eine asymptotische Darstellung möglich ist
(149) Gf ' W (2n) - Wf (2n) - Gf ' W (2n) ,
bei der sich die rechte Seite zusammensetzt aus einer Wachs-
tumsfunktion und einer Sch wankungs funkt io n.
Weil es sich jetzt um 2p+ 2 darstellende Zahlen handelt, wird
in Verallgemeinerung der Gleichung (83) zu setzen sein
D(2/*+2)
(150) W?*-.*V(2.)-C(26,.24,). ^ -2n;
G(2d^, ...,2d„) ist eine von r unabhängige numerische Konstante.
Man wird weiter annehmen dürfen, daß die Schwankungs-
l'unktion bei genügend hoher Stufenzahl von r unabhängig wird;
der so entstehende Ausdruck möge mit A^^"""^h^(2n) bezeichnet
werden. In der Gleichung (89) für Zf^(2d^, ...,2d„) war der zweite
Faktor die Schwankungsfunktion G^(2d^, ...,2<5„). Der Zusammen-
hang zwischen den beiden Arten von Schwankungsfunktionen, die
bei den Zf- und den G-Funktionen eigen sind, wird im dritten Teil
erörtert werden.
Nach § 10 müssen von einer genügend hohen Stufe ab die
Anfangszahlen einer Folge von Lückenzahlen mit den Differenzen
2<5i, ...,2d,, gewissen arithmetischen Reihen der Form 2.P, y + &.
und
W,, W,+ 2(?1, w,+ 2(?2,..., w, + 2u„ ,
und schreibt die zweite Folge in umgekehrter Ordnung unter die
erste, so hat die Summe von je zwei untereinander stehenden
Gliedern immer denselben Wert, denn es ist wegen der Symmetrie
(148) (&J+2(7,,_i) + (w^ + 2u„_^) = zy + w,+ 2u„, .
Man erhält demnach mittels der (p + l)-gliedrigen Lückenzahlfolgen
r-ter Stufe, denen symmetrische Differenzen zukommen, (p + 1)-
fache Darstellungen der geraden Zahlen z^ + w^ + 2u„. Ihre Anzahl
werde mit 6^*h""'W<)(2n) bezeichnet.
Alan wird vermuten, daß nach dem Vorbild der Gleichung (82)
eine asymptotische Darstellung möglich ist
(149) Gf ' W (2n) - Wf (2n) - Gf ' W (2n) ,
bei der sich die rechte Seite zusammensetzt aus einer Wachs-
tumsfunktion und einer Sch wankungs funkt io n.
Weil es sich jetzt um 2p+ 2 darstellende Zahlen handelt, wird
in Verallgemeinerung der Gleichung (83) zu setzen sein
D(2/*+2)
(150) W?*-.*V(2.)-C(26,.24,). ^ -2n;
G(2d^, ...,2d„) ist eine von r unabhängige numerische Konstante.
Man wird weiter annehmen dürfen, daß die Schwankungs-
l'unktion bei genügend hoher Stufenzahl von r unabhängig wird;
der so entstehende Ausdruck möge mit A^^"""^h^(2n) bezeichnet
werden. In der Gleichung (89) für Zf^(2d^, ...,2d„) war der zweite
Faktor die Schwankungsfunktion G^(2d^, ...,2<5„). Der Zusammen-
hang zwischen den beiden Arten von Schwankungsfunktionen, die
bei den Zf- und den G-Funktionen eigen sind, wird im dritten Teil
erörtert werden.
Nach § 10 müssen von einer genügend hohen Stufe ab die
Anfangszahlen einer Folge von Lückenzahlen mit den Differenzen
2<5i, ...,2d,, gewissen arithmetischen Reihen der Form 2.P, y + &.