Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. III. (A. 12) 19
Damit ist die Ungleichung (35.) zunächst für ?% = i bewiesen.
Nimmt man aber an, sie sei bereits für einen gewissen Wert 7%
als richtig erkannt, so folgt aus (29.):

(36.)

Ü ^ E A........ E^.h E<P.i
^ X (nach (34.)) .
A=1
Durch Integration folgt hieraus mit Benutzung von (31.):

^4^[o] + N + X f ^A^^=X^A?
A=1 J A=1

womit die Allgemeingültigkeit der Ungleichung (35.) bewiesen ist.
Die Reihen
X 0;;. und X ^A = X <^A
A=1 A=1 A=1

sind wegen (35.) und (36.) im Intervall %<%<& gleichmäßig und
absolut konvergent. Dasselbe gilt daher wegen (32.) erst recht
von den Reihen


X 94 A
A=1

und

X fb-A
A=1


A )

deren erste außerdem absolut <W;, also < ist. Dann sind aber
alle formalen Operationen erlaubt, und die Reihen (24.) sind daher
ein Integralsystem des gegebenen Systems von Differentialglei-
chungen (23.). Damit ist Satz 2 bewiesen.
Wir setzen beispielsweise

F,

(u + ^2-1D,)!

Fd/0 d^'' ... AfJ

wo F und die d^ positive Zahlen sind. Dann ist das System (29.)
das folgende: