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https://doi.org/10.11588/diglit.56266#0048
48
Victor Goldschmidt:
Bau, sie ist eine Sinuskurve. Aber nach außen nimmt die Höhe
der Wellen ab. Die Reihe ist konvergent und hat eine endliche
Summe. Die periodische Reihe läuft konvergent nach allen Rich-
tungen der Ebene zugleich ins Unendliche.
Konvergenz. Soll eine periodische Reihe eine unendliche sein
und doch mechanisch einen Sinn haben, so muß sie konvergent
sein, d. h. der Wert der Glieder muß stetig abnehmen und ihre
Summe muß endlich sein. Das Gesetz der Abnahme kann ver-
schieden sein.
Ausnahme 1. Endliche Oktavreihen aus gleichen Gliedern (ohne
Abnahme) gibt es bei zyklischen Oktavreihen, z. B. bei den
Kry stallformen.
Beispiel 5. Die Bahn eines Nagels auf der Peripherie eines
Rades, das auf einer Ebene hinrollt, bildet eine periodische Reihe.
Jedes Glied der Reihe (einer Umdrehung entsprechend) ist dem vor-
hergehenden absolut gleich. Die Reihe ist endlich und nicht kon-
vergent. Sie endet mit dem Stillstand des Rades.
Ausnahme 2. Ausnahmsweise kann eine unendliche periodische
Reihe aus lauter gleichen Gliedern bestehen, so daß sie nicht kon-
vergiert und keine endliche Summe hat und ihr doch eine physi-
kalische Bedeutung zukommt.
Beispiel. Die Reihe der Tage und Nächte, die R.eihe der
Jahre mit ihren physikalischen Begleiterscheinungen, als Sommer
und Winter. In diesem Fall ist die Summe der Reihe unendlich.
Jedes Glied (z. B. der Tag, das Jahr ...) bildet eine Einzelperiode,
die Gegenstand des Interesses ist, ebenso die Aneinanderreihung
•der Tage zum Jahr. Aber die Summe der Tage ist, soweit wir
ermessen können, unendlich.
Periodische Funktion. Nach unserer Definition (S. 47) bildet
die konvergente periodische Reihe als Ganzes eine periodische Funk-
tion. Ob die nicht konvergente Reihe mit der Summe = oo als
periodische Funktion anzusehen ist, bedarf der Festlegung.
Periodische Funktion ist also eine solche, in der sich gleich-
gebaute Komplexe aneinanderreihen. Bei unserer G-Funktion be-
gegnen wir einer solchen periodischen Weiterbildung. In der mu-
sikalischen Harmonie sind wir gewohnt, daß sich Oktaven anein-
anderreihen, deren jede in gleicher Weise in Einzeltöne gegliedert
ist. Daß diese Gliederung in der Oktav nach unserem Gompli-
kationsgesetz geschieht, wurde bereits vom Verfasser dargelegt
Victor Goldschmidt:
Bau, sie ist eine Sinuskurve. Aber nach außen nimmt die Höhe
der Wellen ab. Die Reihe ist konvergent und hat eine endliche
Summe. Die periodische Reihe läuft konvergent nach allen Rich-
tungen der Ebene zugleich ins Unendliche.
Konvergenz. Soll eine periodische Reihe eine unendliche sein
und doch mechanisch einen Sinn haben, so muß sie konvergent
sein, d. h. der Wert der Glieder muß stetig abnehmen und ihre
Summe muß endlich sein. Das Gesetz der Abnahme kann ver-
schieden sein.
Ausnahme 1. Endliche Oktavreihen aus gleichen Gliedern (ohne
Abnahme) gibt es bei zyklischen Oktavreihen, z. B. bei den
Kry stallformen.
Beispiel 5. Die Bahn eines Nagels auf der Peripherie eines
Rades, das auf einer Ebene hinrollt, bildet eine periodische Reihe.
Jedes Glied der Reihe (einer Umdrehung entsprechend) ist dem vor-
hergehenden absolut gleich. Die Reihe ist endlich und nicht kon-
vergent. Sie endet mit dem Stillstand des Rades.
Ausnahme 2. Ausnahmsweise kann eine unendliche periodische
Reihe aus lauter gleichen Gliedern bestehen, so daß sie nicht kon-
vergiert und keine endliche Summe hat und ihr doch eine physi-
kalische Bedeutung zukommt.
Beispiel. Die Reihe der Tage und Nächte, die R.eihe der
Jahre mit ihren physikalischen Begleiterscheinungen, als Sommer
und Winter. In diesem Fall ist die Summe der Reihe unendlich.
Jedes Glied (z. B. der Tag, das Jahr ...) bildet eine Einzelperiode,
die Gegenstand des Interesses ist, ebenso die Aneinanderreihung
•der Tage zum Jahr. Aber die Summe der Tage ist, soweit wir
ermessen können, unendlich.
Periodische Funktion. Nach unserer Definition (S. 47) bildet
die konvergente periodische Reihe als Ganzes eine periodische Funk-
tion. Ob die nicht konvergente Reihe mit der Summe = oo als
periodische Funktion anzusehen ist, bedarf der Festlegung.
Periodische Funktion ist also eine solche, in der sich gleich-
gebaute Komplexe aneinanderreihen. Bei unserer G-Funktion be-
gegnen wir einer solchen periodischen Weiterbildung. In der mu-
sikalischen Harmonie sind wir gewohnt, daß sich Oktaven anein-
anderreihen, deren jede in gleicher Weise in Einzeltöne gegliedert
ist. Daß diese Gliederung in der Oktav nach unserem Gompli-
kationsgesetz geschieht, wurde bereits vom Verfasser dargelegt