Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

L. Heffter :

in Normalkoordinaten gegeben waren. Bezeichnen wir nun die Nor-
malkoordinaten der Geraden v' = X' X" mit p{, so ist


wenn die die durch Komposition der Normalkoordinaten des
Punktes X und der Geraden v' = p = X' X" entstandenen Koordinaten

der verbindenden Ebene v = v dieser beiden Elemente sind. Der Aus-

druck ist also durch X und die Gerade v' =p = X' X" eindeutig be-
stimmt und nur gleich Null, wenn Punkt und Gerade inzidieren oder
absolut verbunden sind. Wir definieren deshalb (für s = 0 im Einklang

mit der Euklidischen Geometrie):
Das A b s t a n d s q u a d r a t
des Punktes X und der' Ge-
raden p
(21a) (Xp)- = f(p,v),
wo v die Ebene Xp ist.

Das Sinusquadrat der
Ebene u und der Geraden 7
(21 b) sin2 (u q) — F (s, s),
wo s der Schnittpunkt uq ist.

Aus (20) und (18) aber ergeben sich die Folgerungen:

(22 a) f (p, v)= F (pr, v') f (p, v),
d.h. (xx'x'y
= (X'X")2(X,X'X")2:
Die Fläche eines Dreiecks
ist gleich jeder Seiten-
strecke mal ihrem Abstand
von der Gegen ecke.

(22 b) F (s, s) = cp (s', s') F (s, s),
d.h. sin2 (ww'w")
— sin2 («' u") sin2 (u, u’ w"):
\ Der Seitensinus einer Ecke
1 ist gleich dem Sinus jedes
Seitenpaares mal dem Sinus
seiner Schnittkante und der
Gegenseite.

Sind endlich X, X', X", X"' vier durch Normalkoordinaten ge-

gebene Punkte, so ist

(23)

F(pc,x) F(x,xf) F(x,x") F(x,x'"')
F (x', x) F (x', xr) F (x', x") F (x'; x',r)
F{x",x) F(x",xf') F(x".x") F(x'f,x"')
F(x'",x) F(x"', x') F(x'", x")F(x"',x"f)

_ £.3 / zy-, zy./ Z) W / M 2
- Ö I vV tAZ lAZ tA/ 1 •

Weil der Faktor s3 für die Euklidische Geometrie = 0 und für
die hyperbolische == — 1 ist, also in letzterem Falle für alle reellen
Punkte innerhalb der A. F. einen negativen Wert der linksstehenden
Determinante liefert, 'wählen -wir statt dieser das Determinantenquadrat
(x x' x" x"fy selbst. In ihm hat die A. F. nur insofern ihre Spur
hinterlassen, als die Koordinaten der vier Punkte Normalform haben.