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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0010
10
Wolfgang Krull:
sein kann, wenn es kein Nullteilerideal als echten Teiler besitzt. Dann
ist p auch sicher Primideal. Haben wir nämlich dx-d2s0(p), so ist
auch (dx, p)-(d2, p)=(ax-d2, p-(dx, d2), p2)=0(p) und in dieser Kongruenz
können nicht beide Faktoren echte Teiler von p sein, weil sie sonst
regulär wären, in welchem Falle ihr Produkt als reguläres Ideal un-
möglich durch p teilbar sein könnte. Es ist also etwa (dx, p) = p, d. h.
dx=O(p).— Wir untersuchen zunächst das Verhältnis der Nullteilerprim-
ideale zu den regulären Primidealen.
Satz 4. Ein N u 1 11 e i 1 e r p r i m i d e a 1 p ist zu dem re-
gulären Primideal pr entweder teil er fremd,
oder es ist p=p-pr-
Da nämlich pr keinen von o verschiedenen echten Teiler be-
sitzt, so ist entweder (p, pr) == o oder p = 0 (pz). In letzterem
Falle besteht wegen der Hauptidealeigenschaft von p,. eine Glei-
chung p — pr • p', wobei p' ein Nullteilerideal sein muß, weil an-
dernfalls p regulär wäre. Da nun p kein Nullteilerideal als echten
Teiler besitzt, so haben wir p = p' und daraus folgt die Richtigkeit
unsrer Behauptung.
Es soll jetzt weiter die Frage behandelt werden, wann eine Glei-
chung ps ^ö=ps-a; o > 0, a 4 0 (p) bei einem Nullteilerprimideal p mög-
lich ist. Bezeichnen wir mit jp eine Basis von p, mit a eine solche
von d, so können wir aus der Idealgleichung ps+<7=p?-a zwei Glei-
chungen p?+<r- c —pQ ■ a; pQ. (c -pa- a) — Q herleiten. Hier kann c-pG- a und
folglich auch das Ideal $ = -a) nicht durch p teilbar sein, weil ja
C-pö = Q (p), a^O (p) ist. Wir können also zunächst feststellen, daß
die Gleichung p?+ö = pS-d eine Gleichung p?-p = (O); p 40 (p) nach
sich zieht. Es ergibt sich nun weiter, daß aus dieser zuletzt angeschrie-
benen Gleichung umgekehrt ps = pfe+1 ==■■•• p’folgt. In der Tat,
wir haben: pe+1=ps ■ (p, p) und hier ist t = (p, p) ein echter Teiler von
p und folglich ein reguläres Ideal. Stellen wir nun x nach Satz 2 als
Produkt von Primidealpotenzen dar: X — Pj1 •pf'""P^’ so c^e re_
gulären Primideale pT- wegen der Gleichung ps^1 = ps-x sämtlich Peiler
von pe+1 und folglich auch von p. Nach Satz 4 haben wir daher
p. pi==p (i=l, 2---a) und daraus folgt weiter p?-x = p?=pe+1
Fassen wir die bewiesenen Tatsachen zusammen, so können wir
feststellen: D ie Gleichung p’1 ° = ps -d; o >0, a 4 0 (p) ist nur dann
möglich, wenn ein nicht durch p teilbares Ideal p existiert,
Wolfgang Krull:
sein kann, wenn es kein Nullteilerideal als echten Teiler besitzt. Dann
ist p auch sicher Primideal. Haben wir nämlich dx-d2s0(p), so ist
auch (dx, p)-(d2, p)=(ax-d2, p-(dx, d2), p2)=0(p) und in dieser Kongruenz
können nicht beide Faktoren echte Teiler von p sein, weil sie sonst
regulär wären, in welchem Falle ihr Produkt als reguläres Ideal un-
möglich durch p teilbar sein könnte. Es ist also etwa (dx, p) = p, d. h.
dx=O(p).— Wir untersuchen zunächst das Verhältnis der Nullteilerprim-
ideale zu den regulären Primidealen.
Satz 4. Ein N u 1 11 e i 1 e r p r i m i d e a 1 p ist zu dem re-
gulären Primideal pr entweder teil er fremd,
oder es ist p=p-pr-
Da nämlich pr keinen von o verschiedenen echten Teiler be-
sitzt, so ist entweder (p, pr) == o oder p = 0 (pz). In letzterem
Falle besteht wegen der Hauptidealeigenschaft von p,. eine Glei-
chung p — pr • p', wobei p' ein Nullteilerideal sein muß, weil an-
dernfalls p regulär wäre. Da nun p kein Nullteilerideal als echten
Teiler besitzt, so haben wir p = p' und daraus folgt die Richtigkeit
unsrer Behauptung.
Es soll jetzt weiter die Frage behandelt werden, wann eine Glei-
chung ps ^ö=ps-a; o > 0, a 4 0 (p) bei einem Nullteilerprimideal p mög-
lich ist. Bezeichnen wir mit jp eine Basis von p, mit a eine solche
von d, so können wir aus der Idealgleichung ps+<7=p?-a zwei Glei-
chungen p?+<r- c —pQ ■ a; pQ. (c -pa- a) — Q herleiten. Hier kann c-pG- a und
folglich auch das Ideal $ = -a) nicht durch p teilbar sein, weil ja
C-pö = Q (p), a^O (p) ist. Wir können also zunächst feststellen, daß
die Gleichung p?+ö = pS-d eine Gleichung p?-p = (O); p 40 (p) nach
sich zieht. Es ergibt sich nun weiter, daß aus dieser zuletzt angeschrie-
benen Gleichung umgekehrt ps = pfe+1 ==■■•• p’folgt. In der Tat,
wir haben: pe+1=ps ■ (p, p) und hier ist t = (p, p) ein echter Teiler von
p und folglich ein reguläres Ideal. Stellen wir nun x nach Satz 2 als
Produkt von Primidealpotenzen dar: X — Pj1 •pf'""P^’ so c^e re_
gulären Primideale pT- wegen der Gleichung ps^1 = ps-x sämtlich Peiler
von pe+1 und folglich auch von p. Nach Satz 4 haben wir daher
p. pi==p (i=l, 2---a) und daraus folgt weiter p?-x = p?=pe+1
Fassen wir die bewiesenen Tatsachen zusammen, so können wir
feststellen: D ie Gleichung p’1 ° = ps -d; o >0, a 4 0 (p) ist nur dann
möglich, wenn ein nicht durch p teilbares Ideal p existiert,