Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die gnomonisclie Projektion in der hyperbolischen Geometrie 13

§ 6.
Anwendung auf die einzelnen Flächen.

I. Kugel: 7c = shx.
Für die Konstante k ist sh x zu setzen. Die Gleichungen behalten
Die Abbildungsformeln lauten ausgeschrieben:
th £ = sh x tg -f—
shx
th y = sh x tg -r~—
‘ ö sh x

die angegebene Form.

(1)

Gleichung 4:
(2)

fcr - t<r I - 1

sh x ö sh x

zeigt; daß der absolute Kegelschnitt imaginär ist.

(3 a)

Der Kreis wird abgebildet durch:
X2 , kW2 ;
-7" 4-1
tg2 —;— th o • tg -=—
° sh x sh x

(3 b)

= 1

und auf den andern Anfangspunkt bezogen:
7 o.

0*2 4-0'2 _
x tg shz tho

Man kann also gerade wie auf der euklidischen Kugel die Ellipse
zugleich als eine Hyperbel betrachten. Die beiden Mittelpunkte haben
TT
den Abstand der zweite Mittelpunkt liegt also auf der linken Halb-
kugel (siehe Fig. 1).
Das Bild der Abstandslinien ist:
x2 7c y2 th o
-— 4—-—— = 1

x2 tg2 ~-k y2 th o • tg —— = 1
ö shx J ö shx
das Bild des Grenzkreises -wird:
a =—shxlpchx also:
x2 j y2 sh x i
(chx — shx)2 1 chx — shx
x2 ?/2 sh x i
(ch x + sh x)2 ch x + sh x

(4 a)
(4 b)
Und für
(5)
(6 a)
(6 b)