Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

16

Ernst Roeser

(13 b)

(14)

Der Kreis hat die Gleichungen:

|^ + i'2=ihk
Beim Grenzkreis werden die Formen a und b gleich, man erhält:
x2 + y2 = 1

Benutzen wir gleich die Formeln 12 zum Übergang:
x2 (ch x — sh x)2 + y2 ch x (ch x — sh x) = 1 umgeformt:
x2 y2 ch x
----— 1
+ sh x)2 chx 4- sh x
Ist die auf der £ Achse liegende Halbachse wieder —~, so folgt
ch x
aus 13 a: y
th - p— = ch x + sh x
ch x
th 2 y = 2 (ch x + sh = 1 -
ch x 1 + (ch x + shx)2 ch x
ch x X
Diese Gleichung zeigt, daß die Ellipse ebenfalls den Kreis der
unendlichen Punkte berührt (vgl. Fig. 2).
Bei der Abstandsfläche kann man als Kontrolle benutzen, daß für
ch x == 1, x = 0, die Formeln in die der hyperbolischen Ebene über-
gehen müssen, es ist dann auch o' = o.
!x2 -]- y2 = th2 o oder
x2 th2 o y2 — 1
Die Abstandslinien:
2
thW + »2 = 1 "nd

III. Grenz kugel.
7v = oo
Die Abbildungsformeln lauten hier:
x = th £ — lim sh x • tg ‘
k=x shx
y = thy — y J
Es sind dieselben Gleichungen wie die, welche die klein sehe
Abbildung der hyperbolischen Ebene auf einen Kreis der euklidischen
Ebene vermitteln, nur sind £' und y ' keine euklidischen Strecken,
sondern Grenzkreisbögen. Da aber auf der Grenzkugel die euklidische