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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0032
H. Kapferer:
identisch verschwindender Resultanten gelangt. Bricht das Ver-
fahren erst nach n Schritten ab, so haben die Potenzreihen nur den
Anfang gemein.
Uber
die diophantischen Gleichungen
und deren Abhängigkeit von der Fermatschen Vermutung.
Von H. Kapferer in Freiburg i/Br.
Herr R. Fueter x) hat in der Einleitung zu seiner Abhandlung
über kubische diophantische Gleichungen die Tatsache hervorge-
hoben, daß die Lösbarkeit der Gleichung
(1) z3 — ?/1 2 = 33 • 24
in rationalen Zahlen z, y gleichbedeutend ist mit einer Lösung der
Fermatschen Gleichung
(2) zz3 — c3 = m3
in rationalen Zahlen zz, e, w. Die Begründung 2) ist höchst einfach,
1) R. Fueter, „Über kubische diophantische Gleichungen“, Commentarii
Mathematici Helvetici, Vol. 2, Fase. 1, 1930.
2) Analog folgt aus A3 — B2 = 33 . 24 . C® die gleichwertige Relation
(2 a) (6 HC)3 = (6 C3 + B)3 + (6C3 — B)3
Wir können hierbei einen interessanten Zusammenhang konstatieren mit
Eulers „descente infmie“ beim Beweis der Unmöglichkeit der Gleichung (2),
falls wir unsere Hilfssätze I und II heranziehen. Darnach müssen doch A, B,
(2 C)3 gewisse homogene Polynome in r, s sein mit r = p3, s = q3, r —s = Z3.
Nach (2 a) gilt nun gleichzeitig U3 + V3 = PF3 für
U = 62C3 + B = p9 - q9 — 3 p3 q3 — 6 p3 q3
(3) V = 62C3 B = — p9 + q9 ~ 6 p3 q3—3 p3q3
W = 6AC = 3 pqt (p® + p3 q3 + q6).
Verfolgt, man im Einzelnen den Gedankengang Eulers, so bestätigt man Fol-
gendes: Eulers „kleinere“ Lösung von (2) und seine als gegeben angenommene
„größere“ Lösung befinden sich in eben derselben algebraischen Abhängigkeit
voneinander, wie in (3) unsere Zahlentripel p, q, t einerseits und U, V, W an-
dererseits. Wir bemerken noch: Die Relationen (3) hängen mit einem ganz
allgemeinen Problem aus der Theorie der Korrespondenzen zwischen algebrai-
schen Kurven zusammen.
Vgl. H. Kapferer „Ein Beweis für die LTnmöglichkeit einer nicht linearen
Korrespondenz zwischen doppelpunktfreien Kurven gleicher Ordnung n > 3.“
Sitzungsberichte der Bayer. Akademie, 1931, sowie ebenda, 1932.
W. Wirtinger „Ein anderer Beweis des Satzes, daß 2 singularitätenfreie
Kurven von einer Ordnung n L 4 notwendig kollinear sind, wenn sie eindeutig
aufeinander bezogen sind.“
identisch verschwindender Resultanten gelangt. Bricht das Ver-
fahren erst nach n Schritten ab, so haben die Potenzreihen nur den
Anfang gemein.
Uber
die diophantischen Gleichungen
und deren Abhängigkeit von der Fermatschen Vermutung.
Von H. Kapferer in Freiburg i/Br.
Herr R. Fueter x) hat in der Einleitung zu seiner Abhandlung
über kubische diophantische Gleichungen die Tatsache hervorge-
hoben, daß die Lösbarkeit der Gleichung
(1) z3 — ?/1 2 = 33 • 24
in rationalen Zahlen z, y gleichbedeutend ist mit einer Lösung der
Fermatschen Gleichung
(2) zz3 — c3 = m3
in rationalen Zahlen zz, e, w. Die Begründung 2) ist höchst einfach,
1) R. Fueter, „Über kubische diophantische Gleichungen“, Commentarii
Mathematici Helvetici, Vol. 2, Fase. 1, 1930.
2) Analog folgt aus A3 — B2 = 33 . 24 . C® die gleichwertige Relation
(2 a) (6 HC)3 = (6 C3 + B)3 + (6C3 — B)3
Wir können hierbei einen interessanten Zusammenhang konstatieren mit
Eulers „descente infmie“ beim Beweis der Unmöglichkeit der Gleichung (2),
falls wir unsere Hilfssätze I und II heranziehen. Darnach müssen doch A, B,
(2 C)3 gewisse homogene Polynome in r, s sein mit r = p3, s = q3, r —s = Z3.
Nach (2 a) gilt nun gleichzeitig U3 + V3 = PF3 für
U = 62C3 + B = p9 - q9 — 3 p3 q3 — 6 p3 q3
(3) V = 62C3 B = — p9 + q9 ~ 6 p3 q3—3 p3q3
W = 6AC = 3 pqt (p® + p3 q3 + q6).
Verfolgt, man im Einzelnen den Gedankengang Eulers, so bestätigt man Fol-
gendes: Eulers „kleinere“ Lösung von (2) und seine als gegeben angenommene
„größere“ Lösung befinden sich in eben derselben algebraischen Abhängigkeit
voneinander, wie in (3) unsere Zahlentripel p, q, t einerseits und U, V, W an-
dererseits. Wir bemerken noch: Die Relationen (3) hängen mit einem ganz
allgemeinen Problem aus der Theorie der Korrespondenzen zwischen algebrai-
schen Kurven zusammen.
Vgl. H. Kapferer „Ein Beweis für die LTnmöglichkeit einer nicht linearen
Korrespondenz zwischen doppelpunktfreien Kurven gleicher Ordnung n > 3.“
Sitzungsberichte der Bayer. Akademie, 1931, sowie ebenda, 1932.
W. Wirtinger „Ein anderer Beweis des Satzes, daß 2 singularitätenfreie
Kurven von einer Ordnung n L 4 notwendig kollinear sind, wenn sie eindeutig
aufeinander bezogen sind.“