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https://doi.org/10.11588/diglit.37376#0019
Über lineare homogene Differentialsysteme.
(A.17) 19
% = x^e^, 7)g -
denn keine der drei Funktionen 7p, y]g, 7)3 genügt einem linearen
homogenen Differentialgleichungssystem erster Ordnung für we-
niger als drei Funktionen, wenn als Rationalitätsbereich der
aller Konstanten gewählt wird. Wie die Ausrechnung lehrt,
genügt 7)1 dem Differentialgleichungssystem 3) für eine Funktion:
Entsprechend der Erweiterung des Satzes IV kann man tatsäch-
lich ein Fundamentalsystem von % aufstellen, so daß die bei ihm
für yi in Frage kommenden Funktionen der Differentialglei-
chung genügen, z. B.
7jn = x^e^^ Yjig = e^ -j- 2xe^x -[-x^e^, T^g = e^ -{- 4xe^x -j- 4x^e^.
Deswegen befriedigt nicht jede lineare homogene Kombination
Ci?hi+ Cg 7)12 + CgT]^ mit konstanten Koeffizienten die Differential-
gleichung T); so wird diese z. B. nicht befriedigt durch 7j^==xe^
(vgl. meinen Aufsatz in den math. Annalen 70, S. 106).
8.
Die vollständige Reduzibilität einesDifferentialsystems.
Zum Schluß soll noch der von mir eingeführte Begriff der
vollständigen reduziblen Differentialgleichung oder des vollständig
reduziblen Differentialausdrucks (Math. Annalen 02, S. 95) auf
ein Differentialsystem ausgedehnt werden. Ein Differentialaus-
druck war als vollständig reduzibel definiert, wenn er das kleinste
gemeinsame Vielfache irreduzibler Differentialausdrücke ist. Für
Differentialsysteme geben wir folgende
Definition: Ein Differential System heißt vollständig
reduzibel, wenn es mit einem zerfallenden Differential-
system von derselben Art ist, dessen einzelne Bestand-
teile irreduzible Differentialsysteme sind. Ein Diffe-
rentialsystem für n Funktionen heißt zerfallend, wenn
es vom Typus :
Vi„l Zi + Vi„2 Zg d-h V^,^ Z^, + Vi„n+ 1 ^ (i, = 1, 2, . .., m,)
Vm, m, -{-1 Zm, 1 "t" An, ig, m, -}- 2 Zm, -{-2 9"***"}" An, -j- is, m, -)- Zm, m,
mi + m2 + ... mk = n
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(A.17) 19
% = x^e^, 7)g -
denn keine der drei Funktionen 7p, y]g, 7)3 genügt einem linearen
homogenen Differentialgleichungssystem erster Ordnung für we-
niger als drei Funktionen, wenn als Rationalitätsbereich der
aller Konstanten gewählt wird. Wie die Ausrechnung lehrt,
genügt 7)1 dem Differentialgleichungssystem 3) für eine Funktion:
Entsprechend der Erweiterung des Satzes IV kann man tatsäch-
lich ein Fundamentalsystem von % aufstellen, so daß die bei ihm
für yi in Frage kommenden Funktionen der Differentialglei-
chung genügen, z. B.
7jn = x^e^^ Yjig = e^ -j- 2xe^x -[-x^e^, T^g = e^ -{- 4xe^x -j- 4x^e^.
Deswegen befriedigt nicht jede lineare homogene Kombination
Ci?hi+ Cg 7)12 + CgT]^ mit konstanten Koeffizienten die Differential-
gleichung T); so wird diese z. B. nicht befriedigt durch 7j^==xe^
(vgl. meinen Aufsatz in den math. Annalen 70, S. 106).
8.
Die vollständige Reduzibilität einesDifferentialsystems.
Zum Schluß soll noch der von mir eingeführte Begriff der
vollständigen reduziblen Differentialgleichung oder des vollständig
reduziblen Differentialausdrucks (Math. Annalen 02, S. 95) auf
ein Differentialsystem ausgedehnt werden. Ein Differentialaus-
druck war als vollständig reduzibel definiert, wenn er das kleinste
gemeinsame Vielfache irreduzibler Differentialausdrücke ist. Für
Differentialsysteme geben wir folgende
Definition: Ein Differential System heißt vollständig
reduzibel, wenn es mit einem zerfallenden Differential-
system von derselben Art ist, dessen einzelne Bestand-
teile irreduzible Differentialsysteme sind. Ein Diffe-
rentialsystem für n Funktionen heißt zerfallend, wenn
es vom Typus :
Vi„l Zi + Vi„2 Zg d-h V^,^ Z^, + Vi„n+ 1 ^ (i, = 1, 2, . .., m,)
Vm, m, -{-1 Zm, 1 "t" An, ig, m, -}- 2 Zm, -{-2 9"***"}" An, -j- is, m, -)- Zm, m,
mi + m2 + ... mk = n
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