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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0007
Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie.
(A. 2) 7
braische Gleichung gibt, die sämtliche Werte des Inhalts liefert,
wohl aber jeder einzelne Wert Wurzel einer algebraischen Gleichung
ist. Die Aufgabe, den Inhalt des Sektors AP(7 zu bestimmen,
würde dann in eine Reihe von Teilaufgaben entfallen, die jede für
sich algebraisch lösbar sind.
NEWTON hat diesen Einwand vorausgesehen und ihn durch
den ausdrücklichen Nachweis zu widerlegen versucht, daß jene
Spirale eine einfache Kurve sei, die nicht in mehrere Kurven zer-
falle (curva simplex et in curvas plures irreducibilis).
Er hat also versucht, den Begriff der Unzerlegbarkeit, der den
Mathematikern seiner Zeit für algebraische Kurven geläufig war,
auf nichtalgebraische Kurven auszudehnen, und hat damit ohne
Zweifel einen ersten Schritt zu dem allgemeinen Begriff einer
monogenen Funktion getan. Vielleicht noch bemerkenswerter ist
es jedoch, daß NEWTON zum Nachweis der Unzerlegbarkeit eine
Überlegung benutzt, die später in der Lehre von den algebraischen
Funktionen einer komplexen Veränderlichen grundlegende Bedeu-
tung gewonnen hat. Nach PuisEUx (Journ. de math., ser. 1, t. 16,
1851) gilt nämlich der Satz, daß man von jeder Wurzel ?/i einer
unzerlegbaren algebraischen Gleichung /^, ?/^ = 0 durch passende
Wahl des Weges zu jeder anderen, demselben Werte von % zuge-
hörigen Wurzel ?/2 gelangen kann, und daß umgekehrt jede alge-
braische Gleichung = 0, bei der dies eintritt, unzerlegbar
ist und als monogene Funktion von % erklärt. Man vergleiche
hiermit NEWTONS Ausführungen. ,,Wenn vom Pole auf eine
[die Spirale] schneidende Gerade das Lot gefällt und jenes Lot
zugleich mit der schneidenden Geraden um den Pol herumgedreht
wird, so werden die Schnitte der Spirale ineinander übergehen,
und der Schnitt, der der erste und nächste war, wird nach einer
Umdrehung der zweite sein, nach zweien der dritte, und so fort.
Inzwischen aber wird die Gleichung [für die Schnittpunkte] sich
nicht ändern, außer nach Maßgabe der geänderten Werte derGrößen,
durch die die Lage der Schneidenden bestimmt wird. Mithin wird,
weil jene Größen nach den einzelnen [vollen] Drehungen zu ihren
ersten Werten zurückkehren, die Gleichung zu ihrer ersten Form
zurückkehren, und deshalb wird ein und dieselbe [Gleichung]
alle Schnitte liefern und daher unzählig viele Wurzeln haben,
durch die alle [Schnitte] geliefert werden können."
Daß NEWTONS Schlußweise nicht zum Ziele führt, selbst wenn
man sich auf algebraische Kurven beschränkt, wird bald ausführlich
dargelegt werden.
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braische Gleichung gibt, die sämtliche Werte des Inhalts liefert,
wohl aber jeder einzelne Wert Wurzel einer algebraischen Gleichung
ist. Die Aufgabe, den Inhalt des Sektors AP(7 zu bestimmen,
würde dann in eine Reihe von Teilaufgaben entfallen, die jede für
sich algebraisch lösbar sind.
NEWTON hat diesen Einwand vorausgesehen und ihn durch
den ausdrücklichen Nachweis zu widerlegen versucht, daß jene
Spirale eine einfache Kurve sei, die nicht in mehrere Kurven zer-
falle (curva simplex et in curvas plures irreducibilis).
Er hat also versucht, den Begriff der Unzerlegbarkeit, der den
Mathematikern seiner Zeit für algebraische Kurven geläufig war,
auf nichtalgebraische Kurven auszudehnen, und hat damit ohne
Zweifel einen ersten Schritt zu dem allgemeinen Begriff einer
monogenen Funktion getan. Vielleicht noch bemerkenswerter ist
es jedoch, daß NEWTON zum Nachweis der Unzerlegbarkeit eine
Überlegung benutzt, die später in der Lehre von den algebraischen
Funktionen einer komplexen Veränderlichen grundlegende Bedeu-
tung gewonnen hat. Nach PuisEUx (Journ. de math., ser. 1, t. 16,
1851) gilt nämlich der Satz, daß man von jeder Wurzel ?/i einer
unzerlegbaren algebraischen Gleichung /^, ?/^ = 0 durch passende
Wahl des Weges zu jeder anderen, demselben Werte von % zuge-
hörigen Wurzel ?/2 gelangen kann, und daß umgekehrt jede alge-
braische Gleichung = 0, bei der dies eintritt, unzerlegbar
ist und als monogene Funktion von % erklärt. Man vergleiche
hiermit NEWTONS Ausführungen. ,,Wenn vom Pole auf eine
[die Spirale] schneidende Gerade das Lot gefällt und jenes Lot
zugleich mit der schneidenden Geraden um den Pol herumgedreht
wird, so werden die Schnitte der Spirale ineinander übergehen,
und der Schnitt, der der erste und nächste war, wird nach einer
Umdrehung der zweite sein, nach zweien der dritte, und so fort.
Inzwischen aber wird die Gleichung [für die Schnittpunkte] sich
nicht ändern, außer nach Maßgabe der geänderten Werte derGrößen,
durch die die Lage der Schneidenden bestimmt wird. Mithin wird,
weil jene Größen nach den einzelnen [vollen] Drehungen zu ihren
ersten Werten zurückkehren, die Gleichung zu ihrer ersten Form
zurückkehren, und deshalb wird ein und dieselbe [Gleichung]
alle Schnitte liefern und daher unzählig viele Wurzeln haben,
durch die alle [Schnitte] geliefert werden können."
Daß NEWTONS Schlußweise nicht zum Ziele führt, selbst wenn
man sich auf algebraische Kurven beschränkt, wird bald ausführlich
dargelegt werden.