Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie. (A. 2) 13
die hier, wie in andern Fällen, die RiEMANNsche Fläche leistet,
so sind funktionentheoretische Betrachtungen allein zur vollstän-
digen Beseitigung der Schwierigkeiten nicht ausreichend, denn es
handelt sich nicht nur um analytische, sondern auch um geometri-
sche Fragen, wie d'ÄLEMBERT bereits richtig erkannt hatte.
EuLER hat in der Abhandlung: FAeoremafa ^aaedam ana^Dca,
yaoranz dezzzozz^raB« adAac de^idez-a^ar, die er am 1. Mai 1775 der
Petersburger Akademie vorlegte, die aber erst im Jahre 1785,
also nach seinem Tode, im zweiten Bande der Dpa^ca^a azza^yBca,
S. 76—90 abgedruckt isO, die Frage untersucht, ob es
geschlossene algebraische Kurven gibt, deren Bogenlänge $ durch
einen Ausdruck der Form
(5) s = a. hz
dargestellt wird, wo a eine Konstante und cfV) eine algebraische
Funktion der Abszisse % bedeutet. Die Schlußweise, die er an-
wendet, um darzutun, daß es keine Kurven der verlangten Be-
schaffenheit gibt, hat, soweit sie stichhaltig ist, eine allgemeinere
Bedeutung; auf dieselbe Art läßt sich nämlich zeigen, daß es keine
geschlossene algebraische Kurve gibt, bei der eine algebraische
Funktion der Abszisse gleich einer im reellen Gebiete eindeutigen,
monotonen Funktion der Bogenlänge ^ ist, und ebenso wie
bei dem Verfahren von NEWTON darf an die Stelle der Bogenlänge
^ irgend eine Funktion des Ortes auf der Kurve, 5*, gesetzt werden,
die beim Durchlaufen der Kurve beständig wächst, sodaß also
zu jedem Punkte der geschlossenen Kurve unzählig viele Werte
von iS gehören.
Der Beweis EuLERS erscheint ähnlich wie bei NEWTON
in geometrischem Gewände, er soll aber der Einfachheit wegen
in analytischer Form, und zwar sogleich für den allgemeinen Fall
vorgetragen werden, daß nach den geschlossenen algebraischen
Kurven gefragt wird, bei denen eine Gleichung
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besteht, wo cfV) eine algebraische Funktion der Abszisse % und
pfA) eine eindeutige, monotone Funktion der Größe 5* bedeutet.
Wenn nämlich dem Kurvenpunkte P mit der Abszisse a: die un-
s Wiederabgedruckt Opera o/nnfa AeonAarcü Dauert, Ser. I, vol. 21,
Leipzig 191.3, S. 78—90; vgl. auch EuLERS Abhandlung: De ü'uefs curcis,
t?aara7% recnpcaao per (faZa?% <yaadraZMra7% meusaraZar, Opera posZama, T. I,
1862, S. 439, wiederabgedruckt Opera, vol. 21, S. 274, sowie den Brief
EuLERS an LAGRANGE vom 23. März 1775, Opera posZaaza, T. I, S. 588.