Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie. (A. 2) 15
dieser Funktionen wurzelndes Prinzip" gibt, nach dem man
eine solche Funktion, die für das Intervall 2-
gegeben ist, über den Wert 2 = & hinaus fortsetzen soll, so
sind doch die Fälle gar nicht selten, in denen man sich zu
einer solchen Extrapolation genötigt sieht, und diese kann
durch eine von außen hinzutretende, in der Natur der behandelten
Aufgabe wurzelnde Forderung eindeutig bestimmt sein. Die Fort-
setzung erfolgt oft gemäß einer Funktionalgleichung, die es er-
möglicht, aus den Werten der Funktion für das Intervall % -
die Werte für ein anschließendes Intervall
zu berechnen; man hat etwa Symmetrie-
prinzip, oder Periodizitätsprinzip. Wenn man
weiß, daß die Funktion für das ganze Intervall durch eine
nach Potenzen von c fortschreitende TAYLORSche Reihe dar-
gestellt wird, so läßt sich uncA das Prinzip der analytischen Fort-
setzung anwenderF. Es gewährt den Vorteil, daß man bei der
Untersuchung die gewaltigen Hilfsmittel der Lehre von den ana-
lytischen Funktionen anwenden darf. Man wird jedoch bei einer
Aufgabe aus der Geometrie oder der Mechanik darauf zu achten
haben, ob nicht etwa bei der ursprünglichen Erklärung der ver-
wendeten reellen Funktionen ausdrücklich oder stillschweigend
eine andere Art der Fortsetzung zugrunde gelegt worden ist;
sonst kann es sich leicht ereignen, daß man zu scheinbaren Wider-
sprüchen und Paradoxien kommt.
Im folgenden soll eine besondere Art von reellen Funktionen
betrachtet werden, die in der Differentialgeometrie eine wichtige
Rolle spielen, nämlich gewisse Funktionen des Ortes auf einer
Kurve? oder genauer auf einer analytischen Kurve /^,y)=0.
s Bei der analytischen Fortsetzung wird man auch Funktionselemente
derForma: —c—PFU 1/—FU —zur Anwendung bringen dürfen, die
dem analytischen Gebilde im Gebiete der Veränderlichen 2, ?/
angehören, das durch die nach Potenzen von 3 —c fortschreitende TAYLOR-
sche Reihe bestimmt ist; vgl. die Bemerkungen am Anfang von § 4.
Im übrigen bedarf der Begriff der analytischen Fortsetzung reeller Funk-
tionen einer reellen Veränderlichen noch einer genaueren Untersuchung,
auf die an dieser Stelle nicht eingegangen werden kann.
7 Unter einer Kurve soll in dieser Abhandlung stets ein reelles Gebilde
verstanden werden, und es sollen überhaupt die in der Geometrie üblichen
Benennungen immer in ihrer ursprünglichen, auf das reelle Gebiet beschränk-
ten Bedeutung gelten; bei der Ausdehnung auf das komplexe Gebiet wird
dann entweder ein entsprechender Zusatz nötig, oder es müssen neue Namen
eingeführt werden. Dieses Verfahren scheint der Natur der Sache besser