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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0018
18 (A. 2)
Paul Stäckel:
Jedem Punkte eines in sich zurückkehrenden oder geschlos-
senen Kurvenzweiges werden auf die angegebene Art unzählig
viele Werte der geometrischen Bogenlänge zugeordnet,
die alle aus einem kleinsten positiven Werte ^ durch wiederholtes
Hinzufügen oder Wegnehmen einer gewissen positiven Größe p
hervorgehen; die Größe p soll der geometrische Umfang der
geschlossenen Kurve genannt werden.
Die analytische Bogenlänge c(A, wird durch die
Differentialgleichung
erklärt, die auf dem analytischen Gebilde /(A, p) = 0 mit der
Anfangsbedingung
(13)
= 0
zu integrieren ist. Um dies genauer auszuführen, möge auf der
rechten Seite für y die in der Nähe des Anfangspunktes A gültige
Potenzreihe eingesetzt werden. Dann wird o(A, abgesehen
vom Vorzeichen, in der Nähe von A selbst durch eine nach Poten-
zen von % —% fortschreitende, für %=n verschwindende Potenz-
reihe mit reellen Koeffizienten dargestellt werden. Das Vorzeichen
wird dadurch bestimmt werden können, daß man etwa festsetzt,
c(A, ?p) solle für kleine positive Werte von 2;—n positiv sein; hei
richtiger Wahl des Fortschreitungssinnes auf der Kurve wird
dann in der Nähe von A die analytische Bogenlänge mit der geo-
metrischen Bogenlänge übereinstimmen.
Die für y) gewonnene Potenzreihe kann als Element
einer monogenen analytischen Funktion der komplexen Veränder-
lichen 2? aufgefaßt werden, die aus der Potenzreihe durch das Ver-
fahren der analytischen Fortsetzung hervorgeht, und es wird auf
diese Art die analytische Bogenlänge über die Umgebung des Punktes
A im reellen Gebiet fortgesetzt werden können. Die so erklärte reelle
Funktion braucht mit der reellen Funktion pj nicht
übereinzustimmen. Im besonderen kann es Vorkommen, daß
p) gar nicht einer monogenen analytischen Funktion der
komplexen Veränderlichen 2? als Wert für reelles 2^ angehört; zum
Beispiel ist bei der früher betrachteten regulären Astroide die
geometrische Bogenlänge eine stückweise analytische Funktion
von 2;, das heißt aus Stücken von unzählig vielen analytischen
Funktionen zusammengesetzt.
Paul Stäckel:
Jedem Punkte eines in sich zurückkehrenden oder geschlos-
senen Kurvenzweiges werden auf die angegebene Art unzählig
viele Werte der geometrischen Bogenlänge zugeordnet,
die alle aus einem kleinsten positiven Werte ^ durch wiederholtes
Hinzufügen oder Wegnehmen einer gewissen positiven Größe p
hervorgehen; die Größe p soll der geometrische Umfang der
geschlossenen Kurve genannt werden.
Die analytische Bogenlänge c(A, wird durch die
Differentialgleichung
erklärt, die auf dem analytischen Gebilde /(A, p) = 0 mit der
Anfangsbedingung
(13)
= 0
zu integrieren ist. Um dies genauer auszuführen, möge auf der
rechten Seite für y die in der Nähe des Anfangspunktes A gültige
Potenzreihe eingesetzt werden. Dann wird o(A, abgesehen
vom Vorzeichen, in der Nähe von A selbst durch eine nach Poten-
zen von % —% fortschreitende, für %=n verschwindende Potenz-
reihe mit reellen Koeffizienten dargestellt werden. Das Vorzeichen
wird dadurch bestimmt werden können, daß man etwa festsetzt,
c(A, ?p) solle für kleine positive Werte von 2;—n positiv sein; hei
richtiger Wahl des Fortschreitungssinnes auf der Kurve wird
dann in der Nähe von A die analytische Bogenlänge mit der geo-
metrischen Bogenlänge übereinstimmen.
Die für y) gewonnene Potenzreihe kann als Element
einer monogenen analytischen Funktion der komplexen Veränder-
lichen 2? aufgefaßt werden, die aus der Potenzreihe durch das Ver-
fahren der analytischen Fortsetzung hervorgeht, und es wird auf
diese Art die analytische Bogenlänge über die Umgebung des Punktes
A im reellen Gebiet fortgesetzt werden können. Die so erklärte reelle
Funktion braucht mit der reellen Funktion pj nicht
übereinzustimmen. Im besonderen kann es Vorkommen, daß
p) gar nicht einer monogenen analytischen Funktion der
komplexen Veränderlichen 2? als Wert für reelles 2^ angehört; zum
Beispiel ist bei der früher betrachteten regulären Astroide die
geometrische Bogenlänge eine stückweise analytische Funktion
von 2;, das heißt aus Stücken von unzählig vielen analytischen
Funktionen zusammengesetzt.