Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

20 (A. 2)

Paul Stäckel:

Dieser Schluß ist richtig, solange mit der Bogenlänge die geo-
metrische Bogenlänge gemeint ist, er ist jedoch unzulässig, wenn
für die Bogenlänge eine Forderung gestellt wird, in der die Voraus-
setzung liegt, daß diese eine monogene analytische Funktion von
2 sein soll, also zum Beispiel eine algebraische Funktion. Als-
dann muß man mit der analytischen Bogenlänge y) arbeiten
und die Koordinaten y als Funktionen von c auffassen. Ergeben
sich % und als periodische Funktionen von c, so ist die Un-
möglichkeit der geforderten Rektifikation bewiesen. Es kann
jedoch eintreten, daß die Koordinaten keine periodischen Funk-
tionen von c sind, und zwar gilt dies, falls der im nächsten Para-
graphen zu erklärende analytische Umfang der geschlossenen
Kurve gleich Null ist.
Es möge noch eine Schwierigkeit berührt werden, die sich
ergibt, wenn man die Funktionen % und y von $ und c miteinander
vergleicht, die für hinreichend kleine Werte von $ und c identisch
gleich sind, im weiteren Verlaufe aber verschieden ausfallen kön-
nen. Handelt es sich zum Beispiel um eine algebraisch rektifi-
zierbare geschlossene Kurve, so ist % eine periodische Funktion
von 6*, aber eine algebraische Funktion von c. Wie ist es möglich,
daß zwei Funktionen dieser Art in einem endlichen Stücke ihres
Verlaufes zusammenfallen? Wenn man weiß, daß die periodische
Funktion eine monogene analytische Funktion ist, so hegt hierin
freilich ein Widerspruch. Wenn aber die periodische Funktion nur
für reelle Werte des Argumentes erklärt ist, so verliert der Begriff der
analytischen Fortsetzungseine unbedingte Geltung, und man erhält
aus der algebraischen Funktion a? = eine periodische Funk-
tion /Yul mit der Periode p, wenn man festsetzt, daß für das
Intervall 3 = ^0...p^ die Gleichung = XfA) gelten und
darüber hinaus die Funktion gemäß der Funktionalgleichung
%(A-}-p) = fortgesetzt werden soll.
Man findet gelegentlich die Behauptung, zwischen den Seiten
und Winkeln eines Dreiecks könnten deshalb keine algebraischen
Beziehungen bestehen, weil die Winkelfunktionen
2 periodische Funktionen sind. Wie die vorhergehenden Be-
trachtungen zeigen, ist dieser Schluß nicht gestattet, vielmehr
wird er erst dann bindend, wenn außerdem nachgewiesen ist,
daß die Winkelfunktionen analytisch und monogen sind.