DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0023
Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie. (A. 2) 23
wird vermöge der Darstellung durch Funktionselemente der Fort-
gang auf der Kurve stets eindeutig festgelegt.
Die Funktionselemente sind entweder regulär oder irregu-
lär. Für geschlossene analytische Kurven kommen nur solche
irreguläre Elemente in Betracht, die das Gebilde in der Umgebung
von Verzweigungspunkten darstellen. In einer analytisch
zusammenhängenden Reihe von Funktionselementen gibt es
nur eine endliche Anzahl verzweigter Elemente. Mithin liegen auf
einer analytischen Schleife nur endlich viele Verzweigungspunkte,
und dasselbe gilt von einer analytischen Runde. Wenn gar keine
Verzweigungspunkte vorhanden sind, so sollen diese Gebilde als
regulär bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind die Verzweigungs-
punkte keine mehrfachen Punkte der Kurve; aber auch wenn
sie mehrfache Punkte der Kurve sind, wird beim Wandern auf
der Kurve der Fortgang vermöge der Funktionselemente stets
eindeutig festgelegt.
Für die analytische Bogenlänge einer analytischen Schleife
gilt der Lehrsatz, daß die analytische Fortsetzung stets
eindeutig bestimmt ist, also auch in den Verzweigungs-
punkten der Kurve. Alle beim Durchlaufen der Schleife auf-
tretenden Funktionselemente haben nämlich die Form, daß % —%
und ^ durch gewöhnliche Potenzreihen von % gegeben werden,
die für f = 0 verschwinden, mag das Element regulär oder irre-
gulär sein. Folglich ergibt sich auch für zunächst abge-
sehen vom Vorzeichen, eine gewöhnliche Potenzreihe von ü Die
Bestimmung des Vorzeichens aber erfolgt, nachdem dieses für den
Anfangspunkt willkürlich gewählt ist, nach der Stetigkeit, die
durch das Übereinandergreifen der aufeinanderfolgenden, ana-
lytisch zusammenhängenden Funktionselemente gesichert ist.
Die Potenzreihe für o' beginnt im allgemeinen mit einem von
Null verschiedenen, konstanten Gliede, sodaß die analytische
Bogenlänge in einer hinreichend kleinen Umgebung des Kurven-
punktes A mit den Koordinaten %, & entweder beständig zunimmt
oder beständig abnimmt. Nur in den Verzweigungspunkten, bei
denen die Potenzreihen für % und & mit einer höheren
Potenz von ? als der ersten beginnen, verschwindet o' für ^ = 0,
und wenn dies mit Vorzeichenwechsel geschieht, wenn also die
Entwicklung von o' nach Potenzen von ^ mit einer ungeraden
Potenz beginnt, kann die analytische Bogenlänge in dem betref-
wird vermöge der Darstellung durch Funktionselemente der Fort-
gang auf der Kurve stets eindeutig festgelegt.
Die Funktionselemente sind entweder regulär oder irregu-
lär. Für geschlossene analytische Kurven kommen nur solche
irreguläre Elemente in Betracht, die das Gebilde in der Umgebung
von Verzweigungspunkten darstellen. In einer analytisch
zusammenhängenden Reihe von Funktionselementen gibt es
nur eine endliche Anzahl verzweigter Elemente. Mithin liegen auf
einer analytischen Schleife nur endlich viele Verzweigungspunkte,
und dasselbe gilt von einer analytischen Runde. Wenn gar keine
Verzweigungspunkte vorhanden sind, so sollen diese Gebilde als
regulär bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind die Verzweigungs-
punkte keine mehrfachen Punkte der Kurve; aber auch wenn
sie mehrfache Punkte der Kurve sind, wird beim Wandern auf
der Kurve der Fortgang vermöge der Funktionselemente stets
eindeutig festgelegt.
Für die analytische Bogenlänge einer analytischen Schleife
gilt der Lehrsatz, daß die analytische Fortsetzung stets
eindeutig bestimmt ist, also auch in den Verzweigungs-
punkten der Kurve. Alle beim Durchlaufen der Schleife auf-
tretenden Funktionselemente haben nämlich die Form, daß % —%
und ^ durch gewöhnliche Potenzreihen von % gegeben werden,
die für f = 0 verschwinden, mag das Element regulär oder irre-
gulär sein. Folglich ergibt sich auch für zunächst abge-
sehen vom Vorzeichen, eine gewöhnliche Potenzreihe von ü Die
Bestimmung des Vorzeichens aber erfolgt, nachdem dieses für den
Anfangspunkt willkürlich gewählt ist, nach der Stetigkeit, die
durch das Übereinandergreifen der aufeinanderfolgenden, ana-
lytisch zusammenhängenden Funktionselemente gesichert ist.
Die Potenzreihe für o' beginnt im allgemeinen mit einem von
Null verschiedenen, konstanten Gliede, sodaß die analytische
Bogenlänge in einer hinreichend kleinen Umgebung des Kurven-
punktes A mit den Koordinaten %, & entweder beständig zunimmt
oder beständig abnimmt. Nur in den Verzweigungspunkten, bei
denen die Potenzreihen für % und & mit einer höheren
Potenz von ? als der ersten beginnen, verschwindet o' für ^ = 0,
und wenn dies mit Vorzeichenwechsel geschieht, wenn also die
Entwicklung von o' nach Potenzen von ^ mit einer ungeraden
Potenz beginnt, kann die analytische Bogenlänge in dem betref-