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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0025
Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie.
(A. 2) 25
analytisch zusammenhängenden Reihe von Funktionselementen,
wenn man die Kurve mehr als einmal durchläuft, und es hat daher
einen Sinn, von den Werten der analytischen Bogenlänge zu spre-
chen, die sich bei mehrfachen Umläufen um die Runde ergeben.
Dieser Umstand ermöglicht es, für die analytischen Runden die
Prüfung der Unmöglichkeitsbeweise von NEWTON und EuLER
genauer durchzuführen.
Bei dem EuLERschen Problem ist zu ermitteln, für welche
algebraischen Runden die analytische Bogenlänge einer Gleichung
der Form
(21)
genügt, wo c eine algebraische Funktion der Abszisse 2 und
eine eindeutige, monotone Funktion der analytischen Bogenlänge
G bedeutet. Wie früher für die geometrische, so folgt jetzt für die
analytische Bogenlänge, daß zu jedem Kurvenpunkte P mit den
Koordinaten 2, y nur eine endliche Anzahl von Werten der ana-
lytischen Bogenlänge c gehört, also auch im besonderen zum An-
fangspunkte A. Jetzt durchlaufe man, von A ausgehend, in wieder-
holten Umläufen die Runde. Bei der Rückkehr nach A mögen
sich der Reihe nach für c die Werte Ci, G^, . . . ergeben. Da jedoch
zum Punkte A nur eine endliche Anzahl von Werten der Größe
c gehört, so muß der Anfangswert 0 nach einer endlichen Anzahl
von Umläufen wiederkehren, oder die algebraische Runde muß,
kurz ausgedrückt, den analytischen Umfang OhabenU Hieraus
folgt im besonderen, daß die Gleichung (21) für reguläre algebraische
Runden niemals erfüllt ist, und daß algebraische Runden, für die
sie erfüllt ist, notwendig Verzweigungspunkte besitzen müssen.
Ähnliche Schlüsse gelten für das NEWTONsche Problem,
falls als Funktion des Ortes die analytische Bogenlänge gewählt
wird. Darüber hinaus lassen sich hier über die Anzahl der Um-
läufe, nach denen die analytische Bogenlänge zum Anfangswerte
zurückkehrt, genauere Angaben machen, wenn man die Unter-
suchungen von IluMBERT und KoENiGSBERGER über algebraisch
Für den besonderen Fall, daß <p (c) = G ist, daß es sich also um alge-
braisch rektifizierbare algebraische Kurven handelt, habe ich diesen Satz
schon früher bewiesen, vgl. meine Abhandlungen: Ain AeonAard Anders
ä&er die Ae/di/iAahon aige&raiscAer Aarpen, Annaes da Academia polytechnica
do Porto, t. VII, 1912, und P&er die Aefdi/i/cahon. aige^raiscAer Aarpen,
Annali di mat., ser. 3, t. 20, 1913, S. 193.
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analytisch zusammenhängenden Reihe von Funktionselementen,
wenn man die Kurve mehr als einmal durchläuft, und es hat daher
einen Sinn, von den Werten der analytischen Bogenlänge zu spre-
chen, die sich bei mehrfachen Umläufen um die Runde ergeben.
Dieser Umstand ermöglicht es, für die analytischen Runden die
Prüfung der Unmöglichkeitsbeweise von NEWTON und EuLER
genauer durchzuführen.
Bei dem EuLERschen Problem ist zu ermitteln, für welche
algebraischen Runden die analytische Bogenlänge einer Gleichung
der Form
(21)
genügt, wo c eine algebraische Funktion der Abszisse 2 und
eine eindeutige, monotone Funktion der analytischen Bogenlänge
G bedeutet. Wie früher für die geometrische, so folgt jetzt für die
analytische Bogenlänge, daß zu jedem Kurvenpunkte P mit den
Koordinaten 2, y nur eine endliche Anzahl von Werten der ana-
lytischen Bogenlänge c gehört, also auch im besonderen zum An-
fangspunkte A. Jetzt durchlaufe man, von A ausgehend, in wieder-
holten Umläufen die Runde. Bei der Rückkehr nach A mögen
sich der Reihe nach für c die Werte Ci, G^, . . . ergeben. Da jedoch
zum Punkte A nur eine endliche Anzahl von Werten der Größe
c gehört, so muß der Anfangswert 0 nach einer endlichen Anzahl
von Umläufen wiederkehren, oder die algebraische Runde muß,
kurz ausgedrückt, den analytischen Umfang OhabenU Hieraus
folgt im besonderen, daß die Gleichung (21) für reguläre algebraische
Runden niemals erfüllt ist, und daß algebraische Runden, für die
sie erfüllt ist, notwendig Verzweigungspunkte besitzen müssen.
Ähnliche Schlüsse gelten für das NEWTONsche Problem,
falls als Funktion des Ortes die analytische Bogenlänge gewählt
wird. Darüber hinaus lassen sich hier über die Anzahl der Um-
läufe, nach denen die analytische Bogenlänge zum Anfangswerte
zurückkehrt, genauere Angaben machen, wenn man die Unter-
suchungen von IluMBERT und KoENiGSBERGER über algebraisch
Für den besonderen Fall, daß <p (c) = G ist, daß es sich also um alge-
braisch rektifizierbare algebraische Kurven handelt, habe ich diesen Satz
schon früher bewiesen, vgl. meine Abhandlungen: Ain AeonAard Anders
ä&er die Ae/di/iAahon aige&raiscAer Aarpen, Annaes da Academia polytechnica
do Porto, t. VII, 1912, und P&er die Aefdi/i/cahon. aige^raiscAer Aarpen,
Annali di mat., ser. 3, t. 20, 1913, S. 193.