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https://doi.org/10.11588/diglit.37410#0026
26 (A. 2)
Paul Stäckel:
rektifizierbare algebraische und analytische Kurven zu Hilfe
nimmtW
Bei einer unzerlegbaren algebraischen Kurve / (kr, y) -
wo/y) ein Polynom bezeichne, folgt aus einem grundlegenden
Satze von ABEL, daß das AßELsche Integral
(22) c (kr, y" dx
dann und nur dann eine algebraische Funktion von % ist, wenn es
sich als rationale Funktion von % und ]/l darstellen läßt.
Mithin wird:
(23) = + y) ]/l +
wo das Zeichen 7? ein für allemal rationale Funktionen von % und
2/ bezeichnet. Die Vergleichung der Ausdrücke für die Ableitun-
gen von c nach %, die aus (22) und (23) folgen, läßt erkennen,
daß c einer Gleichung zweiten Grades genügt:
(24) = +
in der c eine von der Wahl des Anfangspunktes A abhängige Kon-
stante bedeutet; vermöge der Gleichung /("a?, y^) = 0 ist 1 -)-
und damit die rechte Seite der Gleichung (24) eine rationale
Funktion von % und y; mithin ist jedem Kurvenpunkte P nur ein
einziger Wert von (A —c^F und daher nur ein Paar von Werten
der analytischen Bogenlänge 3 zugeordnet.
Nunmehr sei die algebraische Kurve eine Runde. Macht man,
von A ausgehend, einen Umlauf, so wird entweder 3 zum Anfangs-
werte 0 zurückkehren oder einen von 0 verschiedenen Wert 3i
annehmen. Im ersten Fall hat die Runde, einmal durch-
laufen, den analytischen Umfang 0. Im zweiten Fall mache
man noch einen Umlauf. Dann ergibt sich bei der Rückkehr nach
A für 3 entweder der Wert 0 oder der Wert 3i. Ergäbe sich aber
der Wert 3i, so bliebe 3—3i bei einem einzigen Umlauf ungeändert,
die Runde hätte also, einmal durchlaufen, den analytischen Um-
fang 0. Folglich muß im zweiten Fall der Wert 0 gelten, und die
Runde hat, zweimal durchlaufen, den analytischenUmfangO.
Ähnliche Betrachtungen gelten für algebraisch rektifizierbare
analytische Kurven. Nach KoENiGSBERGER besteht auch hier
^ HuMBERT, Jes coMr&es pämes rechpcaMes, Journ. de
math., ser. 4, t. 4, 1888, 8. 133; KoENiGSBERGER, Aarpen,
Math. Annalen, Bd. 32, 1888, 8. 589.
Paul Stäckel:
rektifizierbare algebraische und analytische Kurven zu Hilfe
nimmtW
Bei einer unzerlegbaren algebraischen Kurve / (kr, y) -
wo/y) ein Polynom bezeichne, folgt aus einem grundlegenden
Satze von ABEL, daß das AßELsche Integral
(22) c (kr, y" dx
dann und nur dann eine algebraische Funktion von % ist, wenn es
sich als rationale Funktion von % und ]/l darstellen läßt.
Mithin wird:
(23) = + y) ]/l +
wo das Zeichen 7? ein für allemal rationale Funktionen von % und
2/ bezeichnet. Die Vergleichung der Ausdrücke für die Ableitun-
gen von c nach %, die aus (22) und (23) folgen, läßt erkennen,
daß c einer Gleichung zweiten Grades genügt:
(24) = +
in der c eine von der Wahl des Anfangspunktes A abhängige Kon-
stante bedeutet; vermöge der Gleichung /("a?, y^) = 0 ist 1 -)-
und damit die rechte Seite der Gleichung (24) eine rationale
Funktion von % und y; mithin ist jedem Kurvenpunkte P nur ein
einziger Wert von (A —c^F und daher nur ein Paar von Werten
der analytischen Bogenlänge 3 zugeordnet.
Nunmehr sei die algebraische Kurve eine Runde. Macht man,
von A ausgehend, einen Umlauf, so wird entweder 3 zum Anfangs-
werte 0 zurückkehren oder einen von 0 verschiedenen Wert 3i
annehmen. Im ersten Fall hat die Runde, einmal durch-
laufen, den analytischen Umfang 0. Im zweiten Fall mache
man noch einen Umlauf. Dann ergibt sich bei der Rückkehr nach
A für 3 entweder der Wert 0 oder der Wert 3i. Ergäbe sich aber
der Wert 3i, so bliebe 3—3i bei einem einzigen Umlauf ungeändert,
die Runde hätte also, einmal durchlaufen, den analytischen Um-
fang 0. Folglich muß im zweiten Fall der Wert 0 gelten, und die
Runde hat, zweimal durchlaufen, den analytischenUmfangO.
Ähnliche Betrachtungen gelten für algebraisch rektifizierbare
analytische Kurven. Nach KoENiGSBERGER besteht auch hier
^ HuMBERT, Jes coMr&es pämes rechpcaMes, Journ. de
math., ser. 4, t. 4, 1888, 8. 133; KoENiGSBERGER, Aarpen,
Math. Annalen, Bd. 32, 1888, 8. 589.