Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Darstellung gerader Zahlen als Summen von zwei Primzahlen. (A. 10) 29

Die vorhergehenden Betrachtungen lenken die Aufmerksam-
keit auf die eigenartigen Paare GoLDBACH scher Darstellungen
einer geraden Zahl 271, hei denen dem Primzahlzwilling p, p + 2 ein
Primzahlzwilling 2n—p—2 = ^, 2n—p = ^ + 2 entspricht, und um-
gekehrt. Im allgemeinen sind die beiden Zwillingspaare vonein-
ander verschieden. Sie fallen dann und nur dann zusammen, wenn
271 = 2p+ 2 ist; dies tritt ein für
2n = 4, 8,12, 24, 36, 60, 84,120,144, 204 usw.
Entsprechend der Festsetzung, daß bei der GoLDBACH sehen Zahl
D(2n) die Darstellungen 27i=;r+p und p+2, falls 3? und p verschie-
den sind, als verschieden angesehen werden sollten, sodaß C(27i)
nur dann eine ungerade Zahl wird, wenn 271=2p ist, sollen auch
die Zwillingsdarstellungen (p, 2n—p), womit die Darstel-
lungen
2n = p + (27i—p) = (p+2) + (2n—p—2)
gemeint sind, als verschieden angesehen werden, falls p und
^ = 2n—p—2 verschieden sind, sodaß die Anzahl 6\(2n) dieser Dar-
stellungspaare im allgemeinen gerade ist und nur ungerade wird,
wenn 2n = 2p+2 ist.
Man erkennt leicht, daß nicht alle geraden Zahlen 2n Zwillings-
darstellungen zulassen. Abgesehen von den Paaren 1,3 und 3,5
ist nämlich bei jedem Primzahlzwilling p,p + 2 notwendig
(40) p = 6p-l, p + 2 = 6p+l.
Sind auch 2n—p—2 und 2ii—p Primzahlen, wie es einer Zwillings-
darstellung eignet, so hat man ebenso
(41) 2n—p—2 = 6o—1, 2n—p = 6o+l,
und daher ist
(42) 27i = 6(p+o),
das heißt, aus den eigentlichen Zwillingspaaren p = 6p—1,
p + 2 = 6p + l entspringen nur gerade Zahlen der Form 6v.
Demnach besteht zwischen den geraden Zahlen der Form 6-r
und denen der Formen 6v+2 und 6v+4 in bezug auf die Zwitlings-
darstellungen ein wesentlicher Unterschied.