Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

1.

Für die hypergeometrische Reihe bedienen wir uns der üb-
lichen Bezeichnung

(A.) F(a,^,y;x) = l

a(a+l)^(^+l)
i'7 l-2-y(y+l)

+ ---.

Dabei dürfen die Parameter a,j5, y beliebige, auch komplexe, Zahlen
sein mit der einzigen Beschränkung, daß natürlich y T 0, —1, —2,...
sein muß.
Von den vielen bekannten Transformationsformeln kommen
für uns besonders die folgenden in Betracht:

(B.) F(a,^,y;2) = (l-2^ " ^F(y-a,y-^,y;2),
(G.) F(a,^,y;;r) - (l-2)*°F^a, y-^,y; ,
(D.) F(a,^,y; 2) = (l-2)"^F^,y-a,y;—,
F(y)F(y-a-^)

(E.)

F(a,^,y;x)

F(y-a)F(y-^)
F(y)F(a+^-y)
F(a)F(^)

F(a,^?, a+^—y+'l; 1—2)
(1-2)^ " ^F(y-a,y-^,y-a-^+'i; I-2)
für a + ^5—y + 0,+1,+2, ... .

Dabei sind unter den auftretenden Potenzen von 1—2 diejenigen
Zweige zu verstehen, welche für 2 = 0 den Wert 1 haben. Die
Reihe (A.) hat den Konvergenzradius 1; nur wenn a oder gleich
0,-1,—2,... ist, ist der Konvergenzradius unendlich. Die angege-
benen Formeln ermöglichen jedoch die analytische Fortsetzung;
diese ist bekanntlich eindeutig in der ganzen, längs der reellen
Achse von 1 bis +oo aufgeschnittenen 2-Ebene.

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