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https://doi.org/10.11588/diglit.34894#0021
Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. (A. 9) 21
(25.)
F(y)F(n-a-^+y) -a ^ a(a-y+l)
F(y-a)F(n+y-^) l-(a+^-y-/i+l)
a(a+l)(a-y+l)(a-y+2) /^-lF
l-2-(a+^-y-/3+l)(a+^-y-73+2)\ 3: /
während für [1-3:) =1 wieder beide asymptotische Reihen zu ad-
dieren sind.
Indem man die Reihen nach dem ersten Glied abbricht, er-
gibt sich insbesondere:
(26.)
F(a,^-^,y;z)
^)
F(u)
(-x)"^ (1-3:)
y—a—ä+n a—y
n.
für )i-3:) >1 ,
(27.) F(a,/?-/r,y;3:)
— ^ 3: " ^]) für ]1-3:]<1 .
F(y-a) ^ U I !
Es ist
y-7i ^) = — F(a+1, ^+1,7+1; 3:)
<33: 7
und daraus folgt sogleich allgemeiner:
d" , . 7^(a+<ü)F(d+^)F(y') , .
-F(u,d, y; 3:) = —^-7-y^-yw—r—^-F(a+/i,d+/7,y+7i; 3:)
r(.)rMr(y
Nach dem TAYLOR sehen Satz ist also
^ F(u + F)F(d+7?)F(F) ,
(28.) F(u,^,y;3:+z) = ^ r) \ ^ y- F(u+73,^+^,y+n;3:).z"
Die Funktion (28.) hat im Endlichen diesinguläre Stelle z I-3:.
Ihr Verhalten daselbst ergibt sich aus Formel (E.); nämlich:
(25.)
F(y)F(n-a-^+y) -a ^ a(a-y+l)
F(y-a)F(n+y-^) l-(a+^-y-/i+l)
a(a+l)(a-y+l)(a-y+2) /^-lF
l-2-(a+^-y-/3+l)(a+^-y-73+2)\ 3: /
während für [1-3:) =1 wieder beide asymptotische Reihen zu ad-
dieren sind.
Indem man die Reihen nach dem ersten Glied abbricht, er-
gibt sich insbesondere:
(26.)
F(a,^-^,y;z)
^)
F(u)
(-x)"^ (1-3:)
y—a—ä+n a—y
n.
für )i-3:) >1 ,
(27.) F(a,/?-/r,y;3:)
— ^ 3: " ^]) für ]1-3:]<1 .
F(y-a) ^ U I !
Es ist
y-7i ^) = — F(a+1, ^+1,7+1; 3:)
<33: 7
und daraus folgt sogleich allgemeiner:
d" , . 7^(a+<ü)F(d+^)F(y') , .
-F(u,d, y; 3:) = —^-7-y^-yw—r—^-F(a+/i,d+/7,y+7i; 3:)
r(.)rMr(y
Nach dem TAYLOR sehen Satz ist also
^ F(u + F)F(d+7?)F(F) ,
(28.) F(u,^,y;3:+z) = ^ r) \ ^ y- F(u+73,^+^,y+n;3:).z"
Die Funktion (28.) hat im Endlichen diesinguläre Stelle z I-3:.
Ihr Verhalten daselbst ergibt sich aus Formel (E.); nämlich: