Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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OSKAR PERRON:

Wir wollen noch eine weitere, später zu benutzende Trans-
formationsforme] herleiten. Ersetzt man in Formel (C.) die Größen
a,^, y, 3? bezw. durch a,y-^,l+a-^;^y, so erhält man:
wofür man auch schreiben kann:
(F.) (l-^F^a,y-^,l + a-^;^-j = (-^"F^a,l+a-y,i+a-^;i) .

Dabei ist dann links die Potenz so zu verstehen wie oben, rechts be-
deutet (—3:)-° denjenigen Zweig, welcher für 3? = -l den Wert 1 hat.
Durch Vertauschung von a mit entsteht aus (F.):
(G.) (l-3?)^F^,y-a, 1 + ^-a; ^j-(-3?)^F^,l+^-y,l+^-a;^-j .
Wenn man in Formel (E.) die Größen fl, 3? bezw. ersetzt durch
y—f?, und die so entstehende Formel noch mit (1-3?)*^ multi-
pliziert, erhält man:

(1-3:) F a,y-/3,y


F(y)F(^-a)
F(y-a)F(^)

(I-3:) "F

^a,y-^,l + a-^;


F(y)F(o-^)
F(a)F(y-^)

(I-3:) ^F



Hierbei darf a-f? keine ganze Zahl sein. Der Gültigkeitsbereich all
dieser Formeln ist das gemeinsame Konvergenzgebiet der jeweils
auftretenden F-Reihen; bei der letzten Formel also der Bereich
] 1-3?1 > ] 3; I , [ 1-3? [ > 1 .
Man kann den Gültigkeitsbereich jedoch beliebig ausdehnen, wenn
man mit F nicht nur die hypergeometrische Reihe, sondern auch
deren analytische Fortsetzung bezeichnet. In diesem Sinne kann