Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter.

(A. 9) 9

(1-z)^ *F(a,^,y;3:-3:z) = (l-z)

y-i

i - y

:(1-^

a(a+l)^(^+l) 2,. xy+i
^ l-2.y(y+l) ^ ^

wobei y keine ganze Zahl sein soll. Hier kann man die einzelnen
Glieder der rechten Seite nach Potenzen von z entwickeln, worauf
sich für kleine Werte von ]z) der WEiERSTRASssche Doppelreihen-
satz anwenden läßt. Dadurch ergibt sich die Formel:

(5.) (1-z)^ *F(a,/3,y

3: —3:z)



n
Z .

Die Funktion (5.) hat im Endlichen die singulären Punkte
z = l und z = -—^ . An der Stelle z = l ist ihr Verhalten trivial; es
ist einfach nach Definition der hypergeometrischen Reihe:

(6.) (l-zp'FpAy;

oo
3:-3:z) = (l-z)^ ^
y = 0

F(a+r) F(^+r)F(^y)
r(u)r(^)r(y+r).H


2

(i-,p

Um das Verhalten an der Stelle z = - ^ zu ermitteln, ersetzen wir
3
in der Formel (B.) die Größen a,j5,y,3: zuerst durch

a, y + 1, 1—3: ,

sodann auch durch

y—a, y—y—a—/l+l, 1—3: .
Dadurch entstehen die beiden Formeln
F(a, a+/5-y+l; 1-3:) = ^"^F(a-y+l,^-y + l, a+^-y+1; 1-3:) ,
F(y—a, y—y—a-/?+l; 1—3:) = ^ ''F(l-a, 1—/l, y—a—^5+1; 1—3:) .
Setzt man diese Werte auf der rechten Seite von (E.) ein, so
kommt: