Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 11. (A. 2) 29
und weil diese Gleichung von der zweiten Stufe ab richtig ist,
so wird allgemein
(119) 27,(6) = 2Pf-2Pf .
Zur Prüfung berechnen wir 27g (6) = 2 -15 — 2 - 8 = 14, was stimmt.
In der Formel (116) erscheinen die Anzahlen 27,(2Bg, 2z)^^).
Um sie zu bestimmen, hat man eine ähnliche Überlegung anzu-
stellen wie hei 27, (2zQ. Beim Übergang von der r-ten zur (r+1)-
ten Stufe entsteht der Abschnitt 2/1^, 2zl,^ auf zwei wesentlich
verschiedene Arten, durch unmittelbare Übertragung und
durch Ve r s c h m e I z u n g.
Die unmittelbare Übertragung ergibt für 27,_^(2/ü, 2/)^) den
Beitrag U,(2z!^, 2z)^J-(p,_^^—3), falls die Stufenzahl hinreichend
hoch ist.
Unter derselben Voraussetzung können nur zwei benachbarte
Urdifferenzen miteinander verschmelzen. Demnach gibt es drei
Möglichkeiten.
I. Man hat den Abschnitt 2zl,, 2zl,^i, 2z),^.g, und es ist
2B,+2B,^]; = 2/!^, 2/),_^2^^^o+i- Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2/)^,2B^^ einmal.
II. Alan hat den Abschnitt 2J,, 2/),^, 2B,^2, and es ist
2A,= 2B,.,2B,+i—2B,^2 = 2Zt,_^. Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2B^, 2B^,^ einmal.
III. Alan hat den Abschnitt 2B„ 2/1,^, 2kt,, g, 2zf,+g, etnd es ist
2B,+2B,^i = 2B^,2B,+2 + 2zl,^3=2zl(Ha. Damit hieraus dieUrdiffe-
renzen 2zl^, hervorgehen, müssen gleichzeitig 2P, 4 + w, + 2zl,
und 2P,4 + w, + 2B,+ 2/l,^^ + 2z!,^2 durch teilbar sein; also
wäre auch 2J,^_i + 2zl,_^2 dadurch teilbar. Von einer gewissen
Stufenzahl ab hört das auf; die dritte Alöglichkeit. darf also aus-
geschieden werden.
Alles in allem gilt hei hinreichend hoher Stufenzahl die Formel
C,+,(2zi„ 2^+,) = V(24,, 2zl„+,) . (p.,,-3)
+ Z!7,(2xU2zU_,, 2J^) ;
die Summe ist über alle dreigliedrigen Abschnitte zu erstrecken,
hei denen entweder 2J,+ 2J,_^ = 2zl„, 2J,+2 = oder
und weil diese Gleichung von der zweiten Stufe ab richtig ist,
so wird allgemein
(119) 27,(6) = 2Pf-2Pf .
Zur Prüfung berechnen wir 27g (6) = 2 -15 — 2 - 8 = 14, was stimmt.
In der Formel (116) erscheinen die Anzahlen 27,(2Bg, 2z)^^).
Um sie zu bestimmen, hat man eine ähnliche Überlegung anzu-
stellen wie hei 27, (2zQ. Beim Übergang von der r-ten zur (r+1)-
ten Stufe entsteht der Abschnitt 2/1^, 2zl,^ auf zwei wesentlich
verschiedene Arten, durch unmittelbare Übertragung und
durch Ve r s c h m e I z u n g.
Die unmittelbare Übertragung ergibt für 27,_^(2/ü, 2/)^) den
Beitrag U,(2z!^, 2z)^J-(p,_^^—3), falls die Stufenzahl hinreichend
hoch ist.
Unter derselben Voraussetzung können nur zwei benachbarte
Urdifferenzen miteinander verschmelzen. Demnach gibt es drei
Möglichkeiten.
I. Man hat den Abschnitt 2zl,, 2zl,^i, 2z),^.g, und es ist
2B,+2B,^]; = 2/!^, 2/),_^2^^^o+i- Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2/)^,2B^^ einmal.
II. Alan hat den Abschnitt 2J,, 2/),^, 2B,^2, and es ist
2A,= 2B,.,2B,+i—2B,^2 = 2Zt,_^. Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2B^, 2B^,^ einmal.
III. Alan hat den Abschnitt 2B„ 2/1,^, 2kt,, g, 2zf,+g, etnd es ist
2B,+2B,^i = 2B^,2B,+2 + 2zl,^3=2zl(Ha. Damit hieraus dieUrdiffe-
renzen 2zl^, hervorgehen, müssen gleichzeitig 2P, 4 + w, + 2zl,
und 2P,4 + w, + 2B,+ 2/l,^^ + 2z!,^2 durch teilbar sein; also
wäre auch 2J,^_i + 2zl,_^2 dadurch teilbar. Von einer gewissen
Stufenzahl ab hört das auf; die dritte Alöglichkeit. darf also aus-
geschieden werden.
Alles in allem gilt hei hinreichend hoher Stufenzahl die Formel
C,+,(2zi„ 2^+,) = V(24,, 2zl„+,) . (p.,,-3)
+ Z!7,(2xU2zU_,, 2J^) ;
die Summe ist über alle dreigliedrigen Abschnitte zu erstrecken,
hei denen entweder 2J,+ 2J,_^ = 2zl„, 2J,+2 = oder