Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 11. (A. 2) 29

und weil diese Gleichung von der zweiten Stufe ab richtig ist,
so wird allgemein
(119) 27,(6) = 2Pf-2Pf .
Zur Prüfung berechnen wir 27g (6) = 2 -15 — 2 - 8 = 14, was stimmt.
In der Formel (116) erscheinen die Anzahlen 27,(2Bg, 2z)^^).
Um sie zu bestimmen, hat man eine ähnliche Überlegung anzu-
stellen wie hei 27, (2zQ. Beim Übergang von der r-ten zur (r+1)-
ten Stufe entsteht der Abschnitt 2/1^, 2zl,^ auf zwei wesentlich
verschiedene Arten, durch unmittelbare Übertragung und
durch Ve r s c h m e I z u n g.
Die unmittelbare Übertragung ergibt für 27,_^(2/ü, 2/)^) den
Beitrag U,(2z!^, 2z)^J-(p,_^^—3), falls die Stufenzahl hinreichend
hoch ist.
Unter derselben Voraussetzung können nur zwei benachbarte
Urdifferenzen miteinander verschmelzen. Demnach gibt es drei
Möglichkeiten.
I. Man hat den Abschnitt 2zl,, 2zl,^i, 2z),^.g, und es ist
2B,+2B,^]; = 2/!^, 2/),_^2^^^o+i- Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2/)^,2B^^ einmal.
II. Alan hat den Abschnitt 2J,, 2/),^, 2B,^2, and es ist
2A,= 2B,.,2B,+i—2B,^2 = 2Zt,_^. Jeder solche Abschnitt liefert
die Urdifferenzen 2B^, 2B^,^ einmal.
III. Alan hat den Abschnitt 2B„ 2/1,^, 2kt,, g, 2zf,+g, etnd es ist
2B,+2B,^i = 2B^,2B,+2 + 2zl,^3=2zl(Ha. Damit hieraus dieUrdiffe-
renzen 2zl^, hervorgehen, müssen gleichzeitig 2P, 4 + w, + 2zl,
und 2P,4 + w, + 2B,+ 2/l,^^ + 2z!,^2 durch teilbar sein; also
wäre auch 2J,^_i + 2zl,_^2 dadurch teilbar. Von einer gewissen
Stufenzahl ab hört das auf; die dritte Alöglichkeit. darf also aus-
geschieden werden.
Alles in allem gilt hei hinreichend hoher Stufenzahl die Formel
C,+,(2zi„ 2^+,) = V(24,, 2zl„+,) . (p.,,-3)
+ Z!7,(2xU2zU_,, 2J^) ;
die Summe ist über alle dreigliedrigen Abschnitte zu erstrecken,
hei denen entweder 2J,+ 2J,_^ = 2zl„, 2J,+2 = oder