Über Gomplikation und Displikation. 51
Oder sie geht in der mittleren Oktav bis C2, in der oberen und
unteren nur bis Ci- Wir haben dann die Oktavenreihe:
c, + c2 + c,
Fünfoktavige Reihe. Es mögen sich zu beiden Seiten der
Anfangsoktav 4h je zwei schwächere Oktaven 2O, 02 und 3O, 03
anreihen. Wir haben dann:
— [.0 + 2,0 + lA + 2 O2 + 03]
jq LO • A I 1 JL I A i 0-1
oder:
[(A + B) 4- 2 (A + B) + 4 (A + B) + 2 (A + B) 4 (A 4 B)]; S = A 4 B
Daher m = 10.
Zur Bildung einer solchen Reihe müssen sich A und B in 10
gleiche Teile teilen, von denen vier auf 101 fallen, je zwei auf 20
und 02 und je einer auf 30 und 03. Es kann auch so geschehen,
daß A und B in Fünftel zerfallen, von denen zwei Teile 10l zu-
fallen, je ein Teil an 20 und 02 fällt, der letzte Teil sich nochmals
halbiert und auf 30 und 03 verteilt. Das kommt auf das Gleiche
heraus.
Unendliche Oktavenreihe sei eine solche, bei der sich an eine
Anfangsoktav 101 zu beiden Seiten unendlich viele Oktaven anreihen,
jede folgende mit halber Stärke. Die Summe der Reihe soll aber
gleich A-f-B bleiben. Dann haben wir:
4- [• • • • t (A + B) + i (A+ B) +i(A + B) + (A + B) + t(A + B)
+ t(A + B) + i(A.+ B) +.]
= 4<A+B)(I + 1 + i +t+i+- ••)=4(A + B); m-8.
Zur Bildung einer solchen zweiseitig-unendlichen Reihe zer-
fallen A und B in drei gleiche Teile. Einer dieser Teile bildet die
mittlere Oktav. Von den beiden anderen Dritteln wird nach jeder
Seite eines abgegeben. Dieses teilt sich in zwei gleiche Teile, be-
hält den einen Teil und gibt einen Teil zur fortgesetzten Halbierung
ab. Das ist ein einfacher Bildungsvorgang, der sich in der Natur
häufig abspielen dürfte. Wie viele Oktaven sich faktisch ansetzen,
resp. welche Oktaven als zu schwach nicht in die Existenz treten,
hängt von Verhältnissen ab. Praktisch dürfte 03 selten über-
schritten werden.
Anmerkung*. Die Gesangsmusik legt an die mittlere Oktav für Männer-
wie Frauenstimmen beiderseits (nach oben und unten) je eine Oktav an. Die
Instrumentalmusik g>ht weiter. Das Klavier hat 8 Oktaven, 2 mittlere (für Ober-
4*
Oder sie geht in der mittleren Oktav bis C2, in der oberen und
unteren nur bis Ci- Wir haben dann die Oktavenreihe:
c, + c2 + c,
Fünfoktavige Reihe. Es mögen sich zu beiden Seiten der
Anfangsoktav 4h je zwei schwächere Oktaven 2O, 02 und 3O, 03
anreihen. Wir haben dann:
— [.0 + 2,0 + lA + 2 O2 + 03]
jq LO • A I 1 JL I A i 0-1
oder:
[(A + B) 4- 2 (A + B) + 4 (A + B) + 2 (A + B) 4 (A 4 B)]; S = A 4 B
Daher m = 10.
Zur Bildung einer solchen Reihe müssen sich A und B in 10
gleiche Teile teilen, von denen vier auf 101 fallen, je zwei auf 20
und 02 und je einer auf 30 und 03. Es kann auch so geschehen,
daß A und B in Fünftel zerfallen, von denen zwei Teile 10l zu-
fallen, je ein Teil an 20 und 02 fällt, der letzte Teil sich nochmals
halbiert und auf 30 und 03 verteilt. Das kommt auf das Gleiche
heraus.
Unendliche Oktavenreihe sei eine solche, bei der sich an eine
Anfangsoktav 101 zu beiden Seiten unendlich viele Oktaven anreihen,
jede folgende mit halber Stärke. Die Summe der Reihe soll aber
gleich A-f-B bleiben. Dann haben wir:
4- [• • • • t (A + B) + i (A+ B) +i(A + B) + (A + B) + t(A + B)
+ t(A + B) + i(A.+ B) +.]
= 4<A+B)(I + 1 + i +t+i+- ••)=4(A + B); m-8.
Zur Bildung einer solchen zweiseitig-unendlichen Reihe zer-
fallen A und B in drei gleiche Teile. Einer dieser Teile bildet die
mittlere Oktav. Von den beiden anderen Dritteln wird nach jeder
Seite eines abgegeben. Dieses teilt sich in zwei gleiche Teile, be-
hält den einen Teil und gibt einen Teil zur fortgesetzten Halbierung
ab. Das ist ein einfacher Bildungsvorgang, der sich in der Natur
häufig abspielen dürfte. Wie viele Oktaven sich faktisch ansetzen,
resp. welche Oktaven als zu schwach nicht in die Existenz treten,
hängt von Verhältnissen ab. Praktisch dürfte 03 selten über-
schritten werden.
Anmerkung*. Die Gesangsmusik legt an die mittlere Oktav für Männer-
wie Frauenstimmen beiderseits (nach oben und unten) je eine Oktav an. Die
Instrumentalmusik g>ht weiter. Das Klavier hat 8 Oktaven, 2 mittlere (für Ober-
4*