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Victor Goldschmidt:
Führt die Abschnürung nicht zur Trennung, sondern bleiben
die beiden neuen Individuen in der Abschnürungsstelle verbunden
und um diese beweglich, so haben wir Gabelung (Fig. 45 u. 46).
Innerhalb der Gabel kann sich der Prozeß der Komplikation voll-
ziehen (Fig. 47).
Umformung der harmonischen Zahlenreihen. Manchmal ist
in einer Zahlenreihe:
1. z = zx • • z • • • z2 (Allgemeine Form)
das Gesetz der Gomplikation enthalten, aber nicht zu erkennen.
Erst eine Umformung der Reihe auf die Form:
2. N: p = 0 • • 1 • • oo (Form 0. oo = Normalform)
läßt das Gesetz hervortreten. Jede Zahlenreihe: z = zt • • • • z2
können wir auf die Form (0 • • oo) bringen, und zwar durch die Trans-
formation :
Umgekehrt können wir unsere Reihe p = 0 • • • • oo in eine Reihe (z)
mit beliebigen gegebenen Endgliedern zt z2 umwandeln, und zwar
durch die Transformation:
. Z2p + z,
p +1
Formel 4 berechnet sich aus Formel 3. Sie ist deren Um-
kehrung. Sprechen wir von der harmonischen Zahlenreihe, so ist
damit, wenn nicht anders gesagt, die Normalform (N) verstanden.
Einige andere Formen der Reihe sind wichtig, und es ist der Mühe
wert, sich mit ihnen zu beschäftigen. Es sind die folgenden:
2. Oktavenform: Nn = (l«2). Wir haben.-
5. Nn: z11 = 1 • • • f • • • 2
Form (1*2) = Oktavenform. Wir erhalten aus den Gliedern (z)
dieser Reihe die Glieder (p) der Normalreihe (N) durch die Trans-
formation :
6- P== ~z»; umgekehrt ist: 7. z11 =
Diese Reihe Nn zeigt sich bei den Schwingungszahlen der har-
monischen Töne innerhalb der Oktav. Die Transformation (6), an-
gewendet auf diese Schwingungszahlen (z11), ließ erkennen, daß bei
den Tönen in der Musik die selbe Reihe vorliegt, wie bei den Kry-
stallformen in der freien Zone. Die gleiche Oktavenreihe zeigte sich
Victor Goldschmidt:
Führt die Abschnürung nicht zur Trennung, sondern bleiben
die beiden neuen Individuen in der Abschnürungsstelle verbunden
und um diese beweglich, so haben wir Gabelung (Fig. 45 u. 46).
Innerhalb der Gabel kann sich der Prozeß der Komplikation voll-
ziehen (Fig. 47).
Umformung der harmonischen Zahlenreihen. Manchmal ist
in einer Zahlenreihe:
1. z = zx • • z • • • z2 (Allgemeine Form)
das Gesetz der Gomplikation enthalten, aber nicht zu erkennen.
Erst eine Umformung der Reihe auf die Form:
2. N: p = 0 • • 1 • • oo (Form 0. oo = Normalform)
läßt das Gesetz hervortreten. Jede Zahlenreihe: z = zt • • • • z2
können wir auf die Form (0 • • oo) bringen, und zwar durch die Trans-
formation :
Umgekehrt können wir unsere Reihe p = 0 • • • • oo in eine Reihe (z)
mit beliebigen gegebenen Endgliedern zt z2 umwandeln, und zwar
durch die Transformation:
. Z2p + z,
p +1
Formel 4 berechnet sich aus Formel 3. Sie ist deren Um-
kehrung. Sprechen wir von der harmonischen Zahlenreihe, so ist
damit, wenn nicht anders gesagt, die Normalform (N) verstanden.
Einige andere Formen der Reihe sind wichtig, und es ist der Mühe
wert, sich mit ihnen zu beschäftigen. Es sind die folgenden:
2. Oktavenform: Nn = (l«2). Wir haben.-
5. Nn: z11 = 1 • • • f • • • 2
Form (1*2) = Oktavenform. Wir erhalten aus den Gliedern (z)
dieser Reihe die Glieder (p) der Normalreihe (N) durch die Trans-
formation :
6- P== ~z»; umgekehrt ist: 7. z11 =
Diese Reihe Nn zeigt sich bei den Schwingungszahlen der har-
monischen Töne innerhalb der Oktav. Die Transformation (6), an-
gewendet auf diese Schwingungszahlen (z11), ließ erkennen, daß bei
den Tönen in der Musik die selbe Reihe vorliegt, wie bei den Kry-
stallformen in der freien Zone. Die gleiche Oktavenreihe zeigte sich