Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie. (A. 2) 17
Die geometrische Bogenlänge ist eine reelle
Funktion der reellen Veränderlichen die heim Durchlaufen
der Kurve beständig zunimmt; sie gibt die Länge des Weges an,
den man auf der Kurve wandernd zurückgelegt hat. Es könnte
scheinen, als ob diese Erklärung eine Tautologie wäre, weil Bogen-
länge und Weg auf der Kurve dasselbe bedeuten. Daß dies nicht
zutrifft, zeigt die folgende Überlegung.
Wenn man von einem Punkte zf der Kurve =0 aus-
gehend auf ihr wandert, so soll die Gesamtheit der Kurvenpunkte,
die man erreichen kann, ein zum Punkte z4 gehöriger Zweig der
Kurve heißen; dabei soll es erlaubt sein, einen Kurvenpunkt be-
liebig oft zu überschreiten. Sobald man an einen Punkt gelangt,
von dem aus man auf mehr als einem Wege fortschreiten kann,
hat man sich für einen der möglichen Wege zu entscheiden; die
einmal getroffene Entscheidung ist beizubehalten. Ist Z? ein
Punkt des betreffenden Zweiges von A, so kann man, auf der
Kurve wanderd, von Z? nach A gelangen, mithin auch zu allen
Punkten, die sich von A aus erreichen ließen. In Verbindung mit
der für die Wahl der Wege getroffenen Festsetzung folgt hieraus,
daß zu jedem Punkte Z? des betreffenden Zweiges von A als Zweig
genau dieser Zweig von A gehört; ein solcher Zweig ist also ein
in sich geschlossenes Ganzes.
Man beschränke sich jetzt auf einen Zweig der Kurve /fW?/)
= 0 und wandere von diesem von zt nach Z?. Dabei mögen auf der
Kurve der Reihe nach Zwischenpunkte Mi, A,, A^, . . ., A^ ange-
nommen werden, und zwar so, daß die geradlinigen Entfernungen
AA^, A^A^, A^A^, ...,A^_^A^, A^^? sämtlich kleiner sind als
eine beliebig kleine Strecke s. Durch den bekannten, an der Summe
der Entfernungen auszuführenden Grenzprozeß, der bei einer
analytischen Kurve stets konvergiert, gelangt man dann zu dem
Werte der geometrischen Bogenlänge der dem Punkte Z?
bei dem Anfangspunkte A der Zählung zugeordnet ist, oder ge-
nauer zu einem der Werte von denn es kann Vorkommen,
daß man beim Durchlaufen des Zweiges den Punkt Z? mehrmals
überschreitet, und jedem Überschreiten wird dann ein neuer
Wert von entsprechen.
Bei der vorhergehenden Überlegung ist ein bestimmter Fort-
schreitungssinn auf der Kurve als positiver Sinn festgesetzt worden;
es ist zweckmäßig, beim Durchlaufen der Kurve im entgegen-
gesetzten Sinne die geometrische Bogenlänge negativ zu zählen.
Sitzungsber. der Heidelb. Akademie, mathem.-naturw. KI., 1914. A. 2. 2