Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Darstellung gerader Zahlen als Summen von zwei Primzahlen. (A. 10) 15

Die numerische Prüfung der verbesserten Formei zeigt, daß
sie ebenso wenig befriedigende Werte liefert, wie die ursprüngliche
Formel. Man erhält nur ein abgeblaßtes Bild des wirklichen Ver-
laufes der Funktion G(2n); die Maxima werden verkleinert, die
Minima vergrößert. Die Schuld hieran trägt die Wahl der Multi-
plikatoren, die erheblich unter den numerisch ermittelten Werten
liegen. Zu besseren Werten für die Multiplikatoren führen gewisse
zahlentheoretische Betrachtungen, zu denen wir jetzt übergehen.
§ 5
Bestimmung der Multiplikatoren durch zahlentheoretisehe
Betrachtungen
Daß die auffallenden Schwankungen der Funktion G(2??) mit
den ungeraden Primteilern von 2u in Zusammenhang stehen, hat
auch HAussNEiP bemerkt. Er hat versucht, diese Erscheinung
durch eine zahlentheoretische Betrachtung zu erklären. In bezug
auf den Modul 3 haben nämlich die geraden Zahlen 2% die drei
Formen 6m, 6m+ 2, 6m+ 4. Gestattet eine Zahl der Form 6m eine
Darstellung als Summe von zwei Primzahlen 2 und p, so ist ent-
weder 3=3r + l und p=3$ + 2 oder 2 = 3r + 2 und p = 3^ + l. Da-
gegen gestatten die Zahlen der Form 6m+ 2 nur Darstellungen,
bei denen 3 = 3r + l und p = 3^ + l ist, und die Zahlen der Form
6m + 4 nur solche, bei denen 2=3r + 2 und p = 3$ + 2 ist; falls
272—3 eine Primzahl ist, tritt noch die Zerlegung 2 = 3, p = 2n—3
hinzu. Allgemein gibt es in bezug auf eine Primzahl p als Modul
p Klassen von geraden Zahlen, denen die Formen 2pm, 2pm+2
2pm+4,..., 2pm+2p—2 zukommen. Die Zahlen der ersten
Klasse, 2pm, gestatten p—1 Arten der Darstellung als Summe
von zwei Primzahlen 2 und p, weil hier 2 alle p — 1 Formen p7*+ 1,
p7*+2, ..., pr + p—1 haben darf. Dagegen gestatten die Zahlen
der übrigen p —2 Klassen nur p—2 Arten der Darstellung, weil 2
für die Zahlen der Form 2pm+2p nicht die Form pr+2p haben
darf; falls 2n—p eine Primzahl ist, tritt noch die Zerlegung 2 = p,
p = 27Z-p hinzu.
HAussNER schließt hieraus, daß ,,von je zwei geraden Zahlen,
die in der Nähe voneinander liegen, d. h. deren Differenz im Ver-
* R. HAussNER, a. a. 0., S. 11; HAussNER hat meine Abhandlung in
den Göttinger Nachrichten erst während des Druckes seiner Arbeit kennen
gelernt und die folgenden Betrachtungen unabhängig davon angestellt.