Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Darstellung gerader Zahlen als Summen von zwei Primzahlen. (A. 10) 27

zu bilden, und zwar erhält man H(2v) = 0, wenn 2v—1 und 2v+l
beide zusammengesetzte Zahlen oder beide Primzahlen sind,
^(2v) = —1, wenn 2v—1 Primzahl, 2v+l zusammengesetzt, ^(2v)=+l,
wenn 2v—1 zusammengesetzt, 2v+l Primzahl ist. HAUSSNER hat
für den Bereich von v —1 bis 5000 die Werte von ^(27i) angegeben^.
Insbesondere ist
(39) p0)-l, E(2) = 0, p4) = 0, E(6) = 0, p8)—1, pl0) = +l.
Die Berechnung der GoLDBAcnschen Zahlen auf Grund der
Formel
(37') G(27z) -
v=o
soll jetzt genauer untersucht werden; hierbei wird sich zugleich
für sie ein neuer rein arithmetischer Beweis ergeben.
Damit die zahlentheoretische Funktion ^(2v) von Null ver-
schieden ausfällt, muß die eine der beiden Zahlen 2v—1, 2v+l
eine Primzahl, die andere eine zusammengesetzte Zahl sein. Dabei
macht es einen wesentlichen Unterschied, ob diese Primzahl p eine
vereinzelte Primzahl ist, das heißt p—2 und p+2 zusammen-
gesetzte Zahlen sind, oder ob das nicht der Fall, das heißt, auch
eine der Zahlen p—2 und p+2 Primzahl ist, mithin p einem Prim-
zahlzwilling angehört.
Ist erstens 2r—i = p eine vereinzelte Primzahl, so wird
p2v-2) = +l, p2v)^-l,
mithin geben die Werte v—1 und v des Zeigers zur Summe (37 )
den Beitrag
P(2M-2v+2)-P(2n-2v),
und dieser ist gleich Null, wenn 2%—2v+l = 2M.—p eine zusammen-
gesetzte Zahl, gleich +1, wenn es eine Primzahl ist. Das bedeutet
aber nichts anderes, als daß eine ceref7zze^e p znr Nnmme

i HAussNER erklärt (a. a. 0., S. 17) die Funktion ^ auf eine etwas andere
Art, er setzt nämlich
P(2p+1) - 2P(2p-l) + P(2p-3) = ^(2p+l) ;
seine Funktion H(2p+1) ist daher das H(2p) des Textes.