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https://doi.org/10.11588/diglit.34894#0011
Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. (A. 9) 11
diese Funktion dort die Form (6.) hat, so folgt aus dem Satz des
vorigen Paragraphen:
... ^ rp-y+i-ü r(.+ür(^+<-)rp)
oder etwas anders geschrieben:
^F(a+r)F(/?+b)F(y)F(l-y) F(n-y+l-r) ^
^.r(.)r(^)r(y+pr(i-^)' rp-y+i) '71'
Da aber augenscheinlich
rMRi-y) ^ (i-y-üP-J'-'')" ;_M -
yp+l)... (y+y-l)
und, indem man hier y-7! an Stelle von y setzt, auch
F(V-y+l-r) ^ ^
F (/z-y+1) F (y-M+r)
ist, so geht die vorige Formel über in:
(9.)
F(a,^,y-^; x)
^ F(a+r)F(^+r)F(y-/?) y
^oF(a)F(^)F(y-^+r)-r!
91 (3;) < Y ,
oder ausführlicher geschrieben:
(9'.) F(a,A)-K;ü-l + ^-F-^^ +
ct(a+l) (^+1)
Für 9t^)<Y bezeichnet also die Reihe selbst zu-
gleich ihr asymptotisches Verhalten für ?i—>co.
Für
2 — 1
<
1 dagegen, d. h. für 91 (2)
>Y
ist z = -—^ die dem
Nullpunkt nächstgelegene singuläre Stelle der Funktion (5.). Ihr
Verhalten an dieser Stelle ist durch die Formel (8.) gegeben. Aus
dem Satz des vorigen Paragraphen folgt also jetzt:
diese Funktion dort die Form (6.) hat, so folgt aus dem Satz des
vorigen Paragraphen:
... ^ rp-y+i-ü r(.+ür(^+<-)rp)
oder etwas anders geschrieben:
^F(a+r)F(/?+b)F(y)F(l-y) F(n-y+l-r) ^
^.r(.)r(^)r(y+pr(i-^)' rp-y+i) '71'
Da aber augenscheinlich
rMRi-y) ^ (i-y-üP-J'-'')" ;_M -
yp+l)... (y+y-l)
und, indem man hier y-7! an Stelle von y setzt, auch
F(V-y+l-r) ^ ^
F (/z-y+1) F (y-M+r)
ist, so geht die vorige Formel über in:
(9.)
F(a,^,y-^; x)
^ F(a+r)F(^+r)F(y-/?) y
^oF(a)F(^)F(y-^+r)-r!
91 (3;) < Y ,
oder ausführlicher geschrieben:
(9'.) F(a,A)-K;ü-l + ^-F-^^ +
ct(a+l) (^+1)
Für 9t^)<Y bezeichnet also die Reihe selbst zu-
gleich ihr asymptotisches Verhalten für ?i—>co.
Für
2 — 1
<
1 dagegen, d. h. für 91 (2)
>Y
ist z = -—^ die dem
Nullpunkt nächstgelegene singuläre Stelle der Funktion (5.). Ihr
Verhalten an dieser Stelle ist durch die Formel (8.) gegeben. Aus
dem Satz des vorigen Paragraphen folgt also jetzt: