Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter.

(A. 9) 19

(21.) F(a,,3+77,y;;r) =-^ ll-x]>l -
Für a-y = 0,1, 2, ... hat jedes Glied der asymptotischen Reihe
(20.) den Faktor —i-- = 0; das besagt, daß die Funktion dann
F (y-a) j
infinitär kleiner ist als jede noch so hohe Potenz von -. Das ist
72,
auch a priori klar. Denn beispielsweise ist für a-y - 0
F(y,/3+77,y;3i) - (l-x)^*" ,
und das ist wegen ]1-^I>1 in der Tat infinitär kleiner als jede
Potenz von Allgemeiner ist für a-y = p nach Formel (B.)
77
F(y+p,/5+77,y;ü,j = (l-3i)"^"^""F(-p,y-/l-i2,y;.T) ,
und daraus ergibt sich die gleiche Folgerung, da die rechts stehende
hypergeometrische Reihe für p = 1,2,3,... eine eiuFFAe ist.
Wir wenden uns jetzt dem Fall [1-^]<1 zu. Dann ist z = l-3i
die dem Nullpunkt nächstgelegene singuläre Stelle der Funktion
(17.). Da sie dort die Form (19.) hat, ergibt sich diesmal:

rp).K! ^

p)rp)

X

F(72,+n+^-y) (y-a)(l-a) 7'(T2,+n+^-y-l) 31-1
F(a+^-y)-72,! l-(l-a-j6+y)F(a+j$-y-l)-77! 31

F(y) F(/2+a+^-y) ^-y ,,

F(u)F(^)-7d

(1-^)^

1 +

(y-n) (l-a) 3:-l
l-(l-n-^+y-77) a?

Oder also:

2*