Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die hypergeom. Reihe für sehr große Parameter. (A. 9) 23

^-y+1, a-y+1, a+/?-y+l

ersetzt werden,

(30.)

I + f!-. -i + "("+1W+1)
1.2-(y-7?)(y-77+l)

(l-a?)^ +

1 +

a/3

+

^a+i)/$(^+l)

1 - (a+^-y+77+l) 1 - 2 - (a+^-y+77+l) (a+/?-y+/7 + 2)

3: +

F(r<!+ct-y+l) f (77+^-y+l)
(77-y+l) F(/7+a+^-y+l)

Diese Beziehung ist so zu verstehen, daß, wenn beide Seiten formal
nach Potenzen von enwickelt werden, die betreffenden (vermut-
lich divergenten) Reihen identisch sind. Nach der Herleitung muß
zunächst 2 dem gemeinsamen Konvergenzbereich der beiden hyper-
geometrischen Reihen angehören, also ]3:I<1 und sein.
Das ist jedoch bei der rein formalen Bedeutung der Formel (30.)
ganz unnötig. Unser Resultat besagt ja, daß, wenn man die linke

Seite von (30.) formal nach Potenzen von entwickelt, die Varia-
ble 2 herausfällt. Ebenso ist es durchaus überflüssig, daß 77 ganz-
zahlig, und daß a+^-y keine ganze Zahl ist.

Mit Hilfe der Identität (30.) lassen sich alle unsere Resultate
noch in einer zweiten Form schreiben. Wenn beispielsweise die
Größen a, y, a? zuerst durch

a, ct-y+1,

a-^+1,

a:-l
% '

sodann auch durch

y—a, 1-a, y-a-/?+l, —
ersetzt werden, so geht die Zählerreihe von (30.) bei der ersten
Substitution über in die Reihe, welche in Formel (20.) auftritt;
bei der zweiten in die, welche in Formel (22.) auftritt. Daraus
ergeben sich die weiteren Formeln: