23. Oktober 2009

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Welche Möglichkeiten gibt es zusätzlich, wenn wir unendlich viele Geraden
erlauben, aber fordern, dass jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele
unserer Geraden trifft? Man nennt ein derartiges System von Geraden „lokal end-
lich“. Im Wesenlichen erhalten wir dann zusätzlich nur die folgenden Möglichkei-

ten:


Warum gibt es nicht mehr Möglichkeiten? Nun ja, abgesehen von den beiden
„trivialen“ Fällen ganz links im Bild müssen wir ja Dreiecke suchen, deren sämtli-
che Winkel die Gestalt 180°/<a, 180°//>, 180°/c haben mit a; b; c > 2 ganzen Zahlen.
DieWinkelsumme im Dreieck ist 180°; wir suchen also alle ganzzahligen Lösungen
der Gleichung

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1

2

1

und diese entsprechen den interessanten drei Fällen rechts im Bild.
Wie sieht es nun eine Dimension höher aus? Welche Möglichkeiten gibt es
also, in lokal endlicher Weise Ebenen in den Raum zu legen derart, daß die Spiege-
lung an jeder dieser Ebenen die Vereinigung aller unserer Ebenen in sich selber über-
fuhrt? Natürlich können wir alle unsere „ebenen“ Lösungen von oben zu „räumli-
chen“ Lösungen machen, indem wir einfach auf allen ihren Geraden dünne Mau-
ern errichten und sie so zu Ebenen machen. Zusätzlich könnten wir auch noch in
regelmäßigen Abständen horizontale Böden einziehen, und so weitere räumliche
Lösungen erhalten. Darüber hinaus gibt es nur noch sechsMöglichkeiten, drei davon
endlich und drei lokal endlich:
— Das System der sechs Spiegelebenen zu Spiegelungen, die einen Tetraeder in sich
überführen;
— Das System der neun Spiegelebenen zu Spiegelungen, die einen Würfel in sich
überführen;
— Das System der dreißig Spiegelebenen zu Spiegelungen, die einen Ikosaeder in
sich überführen;

Diese Gleichung hat nun mal eben nur die drei ganzzahligen Lösungen
1 = - + - + -