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SITZUNGEN

— Das System aller Spiegelebenen zu Spiegelungen, die das Kristallgitter des Dia-
mants in sich überfuhren;
— Das System aller Spiegelebenen zu Spiegelungen, die das Kristallgitter von Koch-
salz in sich überfuhren;
— Das System aller Spiegelebenen zu Spiegelungen, die das Kristallgitter von Koch-
salz in sich überführen und die dabei die Atome von Natrium und Chlor vertau-
schen dürfen;
In beliebigen Dimensionen ist die analoge Fragestellung auch gelöst und von
fundamentaler Bedeutung wegen ihres engen Bezugs zur Klassifikation der soge-
nannten „nichteuklidischen Raumformen“ durch Killing gegen Ende des 19.-ten
Jahrhunderts. Killings „Raumformen“ würde man heutzutage wohl „symmetrische
Räume“ nennen und als Quotienten einer reduktiven reellen Lie-Gruppe nach
einer maximal kompakten Untergruppe realisieren. Die Frage nach der Struktur der
irreduziblen Darstellungen dieser reellen Lie-Gruppen ist im Fall von Symmetrie-
gruppen der Physik wie etwa der Lorentzgruppe eng verknüpft mit der Struktur der
quantenmechanischen Wellengleichungen elementarer Teilchen. Im allgemeinen
führt diese Frage auf kombinatorische Fragestellungen, die mir wieder recht ele-
mentar scheinen und auf die ich im folgenden genauer eingehen will.
Ich wähle eine Variante aus, die besonders gut zu zeichnen ist. Das Zeichnen
gelingt nur im ebenen Fall, aber der dahinterstehende Formalismus funktioniert in
analoger Weise in allen Dimensionen. Nehmen wir uns also eines unserer vier lokal
endlichen spiegelungsinvarianten Geradensysteme her. Zunächst gilt es, darin einen
Punkt auszuwählen, der auf sovielen unserer Geraden liegt wie möglich.
Anschließend wählen wir noch eines der von den Geraden durch unseren Punkt

ausgeschnittenen „Kuchenstücke“ aus. Für unser vorletztes Geradensystem von vor-
hin erhielten wir so etwa das Erste der drei folgenden Bilder:


Jetzt betrachtet man „Füllungen“ derartiger Bilder mit sogenannten „Laurent-
Polynomen“ in einer Variablen TJ mit ganzzahligen Koeffizienten, also formalen Aus-
drücken in Potenzen von V und V-1; wie zum Beispiel im mittleren Bild von eben.
Lassen wir ein Dreieck leer, so ist gemeint, daß darin das Nullpolynom stehen soll.
Des weiteren erklären wir zu jeder der drei Seiten des Dreiecks unten in der Spitze