136 | SITZUNGEN

Wichtig für die Darstellungstheorie sind nun die Füllungen mit den folgenden bei-
den Eigenschaften:
— Sie lassen sich darstellen als endliche Summe von ganzzahligen Vielfachen von
Füllungen, die aus der „trivialen Füllung“ mit einer einsamen Eins im Dreieck
unten in der Spitze durch unsere Seiten-Operatoren entstehen.
— Der Eintrag in einem Dreieck A ist eine Eins und die Einträge in den anderen
Dreiecken sind Polynome ohne konstanten Term, in Formeln Elemente von
Der Hauptsatz der Theorie besagt dann, daß für jedes Dreieck A genau eine derar-
tige Füllung CA existiert. Diese speziellen Füllungen sind typische Beispiele für
etwas, das man in der Darstellungstheorie nach einer bahnbrechenden Arbeit von
Kazhdan und Lusztig aus dem Jahr 1979 eine „Kazhdan-Lusztig-Basis“ nennt. Wir
nennen sie hier einmal „KL-Füllungen“. Alle Füllungen aus dem obigen Bild sind
KL-Füllungen, mit Ausnahme der letzten Füllung, in der in zwei Dreiecken ein kon-
stanter Term auftritt. Subtrahieren wir jedoch von dieser letzten Füllung die erste
Füllung derselben Zeile, so können wir einen dieser konstanten Terme wieder zum
Verschwinden bringen und erhalten wieder eine KL-Füllung, die durch das erste
Bild der folgenden Zeile dargestellt wird:


Das mittlere Bild dieser Zeile ist wieder keine KL-Füllung, das letzte aber
doch: Es entsteht nämlich aus dem mittleren Bild durch die Subtraktion des mittle-
ren Bildes der vorhergehenden Bildzeile, vermittels derer wir die störende Eins in
der Mitte unserer Füllung zum Verschwinden bringen. Wenn Sie nun Spaß an der
Sache gefunden haben und selbst ein wenig weiterrechnen, so werden Sie bald mer-
ken, daß sich die KL-Füllungen in diesem Beispiel auch ohne explizites Rechnen
recht gut Vorhersagen lassen: Zum Beispiel treten Füllungen wie die letzte von eben
mit allen ihren Verschiebungen auf, KL-Füllungen wären also etwa auch die beiden
Füllungen, die in den letzten beiden Bildern unten gezeigt werden.
Ich hoffe, Sie überzeugt zu haben, daß diese Kombinatorik eigentlich nicht
besonders schwierig ist. Verblüffend ist beim Arbeiten mit diesem Formalismus, daß
das „Subtrahieren zum Ausputzen stördender konstanter Terme“ nie zu negativen
Koeffizienten führt: Diese Aussage in der vollen Allgemeinheit dieser Theorie zu zei-
gen, ist noch ein offenes Problem, die Frage nach der „Positivität der Koeffizienten
von KL-Polynomen“.