DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0028
halblineare Einschaltung in Pfeilfeldern
13
von einem Anfangspunkt U aus aufträgt und deren Endpunkte T
in gleicher Weise durch Geraden verbindet, wie es bei den Kanten
des Feldwürfels geschah. Obwohl diese Verzerrungsfigur (wie
auch jene der Punkte Q) mit dem Feldwürfel topologisch gleich-
artig ist, kann sie äußerlich sehr verschieden aussehen und, wenn
man in sie wie beim Feldwürfel die hyperbolischen Paraboloide
einspannt, so brauchen diese keineswegs immer einen würfel-
förmigen Raum zu umschließen, sondern können sich vielfach durch-
setzen. Dennoch läßt sich an der Verzerrungsfigur die Unterteilung
genau so vornehmen wie am Feldwürfel, und sie führt wieder,
mit den gleichen Teilverhältnissen ausgeführt, zu einem Punkt T,
der, mit U verbunden, den eingeschalteten Pfeil für den Feld-
punkt P liefert.
Die halblineare Einschaltung läßt sich nicht bloß auf achteckige,
würfelförmige Feldbereiche anwenden, sondern auch noch auf
sieben-, sechs- und fünfeckige, und sie geht erst bei viereckigen,
bezw. vierflächigen in die lineare Einschaltung über. Durch Zu-
sammenfallenlassen der Punkte 4 und 6 erhält man einen sieben-
eckigen, durch weiteres Zusammenrücken von 5 mit 8 einen sechs-
eckigen Bereich. Einen anders gestalteten sechseckigen Bereich
bekommt man beim Zusammenrücken von 1 und 4, sowie 5 und 8,
einen oktaederartigen, wenn 4 und 6 sowie 5 und 3 sich decken. Das
Zusammenfallen der vier Punkte 1, 2, 4 und 6 liefert einen fünf-
eckigen Bereich, ebenso jenes von 1 mit 3, 2 mit 6 und 7 mit 8.
Beim Übergang zum Viereck wird 4 mit 6 und 3, sowie 5 mit 7
und 8 verschmolzen. Die Formel für den Ortspfeil kann dann
folgendermaßen geschrieben werden:
—|— 4 -p (1 —4 —v ——j— v (1 —4)
1 ——j— /z- (1 —v —j— 4v) -j- v (1 -j- Ä)
die nach Einführung von /-<• (1 —4 —j— v —j— Äv) = [,i und v (1 —j- 4) —v
in jene für die lineare Einschaltung übergeht.
Die Geraden, welche die Unterteilung des Feldes der Punkte P
bewirken, bilden ein Strahlensystem, von dem je drei Strahlen
durch einen Punkt im Innern des Feldes gehen, und dessen Brenn-
fläche im Regelfälle außerhalb desselben liegt. Dagegen kann die
Brennfläche der Geraden, welche die Verzerrungsfigur unterteilen,
sehr wohl innerhalb derselben liegen. Man kann auf dem gleichen
Wege wie bei der Einschaltung in der Ebene auch im Raum die
Beziehung zwischen 2, und v aufsuchen, die für die Brennfläche
15
13
von einem Anfangspunkt U aus aufträgt und deren Endpunkte T
in gleicher Weise durch Geraden verbindet, wie es bei den Kanten
des Feldwürfels geschah. Obwohl diese Verzerrungsfigur (wie
auch jene der Punkte Q) mit dem Feldwürfel topologisch gleich-
artig ist, kann sie äußerlich sehr verschieden aussehen und, wenn
man in sie wie beim Feldwürfel die hyperbolischen Paraboloide
einspannt, so brauchen diese keineswegs immer einen würfel-
förmigen Raum zu umschließen, sondern können sich vielfach durch-
setzen. Dennoch läßt sich an der Verzerrungsfigur die Unterteilung
genau so vornehmen wie am Feldwürfel, und sie führt wieder,
mit den gleichen Teilverhältnissen ausgeführt, zu einem Punkt T,
der, mit U verbunden, den eingeschalteten Pfeil für den Feld-
punkt P liefert.
Die halblineare Einschaltung läßt sich nicht bloß auf achteckige,
würfelförmige Feldbereiche anwenden, sondern auch noch auf
sieben-, sechs- und fünfeckige, und sie geht erst bei viereckigen,
bezw. vierflächigen in die lineare Einschaltung über. Durch Zu-
sammenfallenlassen der Punkte 4 und 6 erhält man einen sieben-
eckigen, durch weiteres Zusammenrücken von 5 mit 8 einen sechs-
eckigen Bereich. Einen anders gestalteten sechseckigen Bereich
bekommt man beim Zusammenrücken von 1 und 4, sowie 5 und 8,
einen oktaederartigen, wenn 4 und 6 sowie 5 und 3 sich decken. Das
Zusammenfallen der vier Punkte 1, 2, 4 und 6 liefert einen fünf-
eckigen Bereich, ebenso jenes von 1 mit 3, 2 mit 6 und 7 mit 8.
Beim Übergang zum Viereck wird 4 mit 6 und 3, sowie 5 mit 7
und 8 verschmolzen. Die Formel für den Ortspfeil kann dann
folgendermaßen geschrieben werden:
—|— 4 -p (1 —4 —v ——j— v (1 —4)
1 ——j— /z- (1 —v —j— 4v) -j- v (1 -j- Ä)
die nach Einführung von /-<• (1 —4 —j— v —j— Äv) = [,i und v (1 —j- 4) —v
in jene für die lineare Einschaltung übergeht.
Die Geraden, welche die Unterteilung des Feldes der Punkte P
bewirken, bilden ein Strahlensystem, von dem je drei Strahlen
durch einen Punkt im Innern des Feldes gehen, und dessen Brenn-
fläche im Regelfälle außerhalb desselben liegt. Dagegen kann die
Brennfläche der Geraden, welche die Verzerrungsfigur unterteilen,
sehr wohl innerhalb derselben liegen. Man kann auf dem gleichen
Wege wie bei der Einschaltung in der Ebene auch im Raum die
Beziehung zwischen 2, und v aufsuchen, die für die Brennfläche
15