DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0053
Explizite Lösung einer gewissen partiellen
Dillerenzengleichung
6ei vorgegebenen Randwerten auf einem Rechteck.
Von Oskar Perron in München.
§1. Einleitung.
Der, dem diese Schrift gewidmet ist, hat gelegentlich mit
Nachdruck auf die Bedeutung derjenigen partiellen Differenzen-
gleichung hingewiesen x), die das Analogon zur Potentialgleichung
ist und im Grenzfall für nach 0 konvergierende Differenzen in
diese übergeht; daher dürften ihm die folgenden Zeilen vielleicht
Freude machen. Auf seine Anregung hat sich auch Herr Wolf
mit der gleichen Differenzengleichung beschäftigt* 2). Ferner haben
die Herren J. le Roux, Phillips und Wiener den Grenzübergang zur
wirklichen Lösung des Dirichletschen Problems benutzt und die
Lösung insbesondere für ein Rechteck bezw. einen Würfel explizit
angegeben 3).
Im Folgenden besteht nicht die Absicht, durch Grenzübergang
zu einer Differentialgleichung überzugehen; dafür wird aber eine
etwas allgemeinere Differenzengleichung behandelt und das
Randwertproblem für ein Rechteck bzw. einen n-dimensionalen
Quader vollständig gelöst. Die §§ 2—4 sind zunächst dem zwei-
dimensionalen Problem gewidmet. Doch verläuft die Rechnung
genau so beim n-dimensionalen Problem, für welches dann in
§ 5 die analogen Resultate zusammengestellt werden.
x) H. Liebmann: Die angenäherte Ermittlung harmonischer Funktionen
und konformer Abbildungen. Sitzungsber. d. Bayer. Akademie, math.-phys.
Klasse 1918. S. 385—416.
2) Franz Wolf: Über eine Methode zur angenäherten numerischen
Lösung des zweiten Randwertproblems der harmonischen Differential-
gleichung. Zeitschrift für angew. Mathematik und Mechanik Bd. 5 (1925),
S. 479—481. — Über die angenäherte numerische Berechnung harmonischer
und biharmonischer Funktionen. Ebenda Bd. 6 (1926), S. 118—150.
3) J. le Roux: Sur le probleme de Dirichlet. Journal de mathematiques
pures et appliquees (6) t. 10,1914, S. 189—230. — H. B. Phillips and N. Wie-
ner: Nets and the Dirichlet problem. Journal of mathematics and physics,
Massachusetts Institute of Technology, vol. 2 (1923), S. 105—124.
40
Dillerenzengleichung
6ei vorgegebenen Randwerten auf einem Rechteck.
Von Oskar Perron in München.
§1. Einleitung.
Der, dem diese Schrift gewidmet ist, hat gelegentlich mit
Nachdruck auf die Bedeutung derjenigen partiellen Differenzen-
gleichung hingewiesen x), die das Analogon zur Potentialgleichung
ist und im Grenzfall für nach 0 konvergierende Differenzen in
diese übergeht; daher dürften ihm die folgenden Zeilen vielleicht
Freude machen. Auf seine Anregung hat sich auch Herr Wolf
mit der gleichen Differenzengleichung beschäftigt* 2). Ferner haben
die Herren J. le Roux, Phillips und Wiener den Grenzübergang zur
wirklichen Lösung des Dirichletschen Problems benutzt und die
Lösung insbesondere für ein Rechteck bezw. einen Würfel explizit
angegeben 3).
Im Folgenden besteht nicht die Absicht, durch Grenzübergang
zu einer Differentialgleichung überzugehen; dafür wird aber eine
etwas allgemeinere Differenzengleichung behandelt und das
Randwertproblem für ein Rechteck bzw. einen n-dimensionalen
Quader vollständig gelöst. Die §§ 2—4 sind zunächst dem zwei-
dimensionalen Problem gewidmet. Doch verläuft die Rechnung
genau so beim n-dimensionalen Problem, für welches dann in
§ 5 die analogen Resultate zusammengestellt werden.
x) H. Liebmann: Die angenäherte Ermittlung harmonischer Funktionen
und konformer Abbildungen. Sitzungsber. d. Bayer. Akademie, math.-phys.
Klasse 1918. S. 385—416.
2) Franz Wolf: Über eine Methode zur angenäherten numerischen
Lösung des zweiten Randwertproblems der harmonischen Differential-
gleichung. Zeitschrift für angew. Mathematik und Mechanik Bd. 5 (1925),
S. 479—481. — Über die angenäherte numerische Berechnung harmonischer
und biharmonischer Funktionen. Ebenda Bd. 6 (1926), S. 118—150.
3) J. le Roux: Sur le probleme de Dirichlet. Journal de mathematiques
pures et appliquees (6) t. 10,1914, S. 189—230. — H. B. Phillips and N. Wie-
ner: Nets and the Dirichlet problem. Journal of mathematics and physics,
Massachusetts Institute of Technology, vol. 2 (1923), S. 105—124.
40