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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0014
Die Kegelschnitte als Etementvereine.
Von
Friedrich Engel in Gießen.
Man hat sich jetzt allgemein daran gewöhnt, die Kegelschnitte
zugleich als Kurven zweiter Ordnung und als solche zweiter Klasse
aufzufassen, und betrachtet demzufolge nicht bloß das Geraden-
paar, sondern auch das Punktepaar als einen ausgearteten Kegel-
schnitt. Man hat jedoch, wie mir scheint, diese Auffassung bisher
noch nicht in wirklich befriedigender Weise analytisch dargestellt.
Dazu gelangt man erst, wenn man die Kegelschnitte grundsätz-
lich im Sinne Lies als Elementvereine betrachtet und ihre Glei-
chungen in Elementkoordinaten schreibt.
I. Die Elementvereine und insbesondere
die Kegelschnitte.
Es seien x und u ein Punkt und eine Gerade mit den homoge-
nen Koordinaten x2, x3 und u2, u3. Durch die Gleichung
(u x) = 0 sind dann die Elemente der projektiven Ebene definiert,
und die Gleichungen (m, dx) = 0, (du, v) = 0 sind die Bedingungen
für die vereinigte Lage zweier unendlich benachbarter Elemente.
Denken wir uns x und u als Funktionen einer unabhängigen
Veränderlichen t, und deuten wir die Ableitung nach t durch einen
Strich an, so sind für jeden Verein von oo1 Elementen die folgen-
den Gleichungen identisch erfüllt:
(1) (u x) = 0, (ujc') = O, (w'jc) = O.
Dabei ist (u' x') =^= 0, wenn der Verein weder ein Punkt noch eine
Gerade ist.
Zur Darstellung eines bestimmten Vereines braucht man zwei
Gleichungen zwischen den x und u. Diese müssen voneinander
und von (u x) = 0 unabhängig sein und mit (u x) = 0 zusammen
(1) nach sich ziehen. Für die Kegelschnitte insbesondere kann
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Von
Friedrich Engel in Gießen.
Man hat sich jetzt allgemein daran gewöhnt, die Kegelschnitte
zugleich als Kurven zweiter Ordnung und als solche zweiter Klasse
aufzufassen, und betrachtet demzufolge nicht bloß das Geraden-
paar, sondern auch das Punktepaar als einen ausgearteten Kegel-
schnitt. Man hat jedoch, wie mir scheint, diese Auffassung bisher
noch nicht in wirklich befriedigender Weise analytisch dargestellt.
Dazu gelangt man erst, wenn man die Kegelschnitte grundsätz-
lich im Sinne Lies als Elementvereine betrachtet und ihre Glei-
chungen in Elementkoordinaten schreibt.
I. Die Elementvereine und insbesondere
die Kegelschnitte.
Es seien x und u ein Punkt und eine Gerade mit den homoge-
nen Koordinaten x2, x3 und u2, u3. Durch die Gleichung
(u x) = 0 sind dann die Elemente der projektiven Ebene definiert,
und die Gleichungen (m, dx) = 0, (du, v) = 0 sind die Bedingungen
für die vereinigte Lage zweier unendlich benachbarter Elemente.
Denken wir uns x und u als Funktionen einer unabhängigen
Veränderlichen t, und deuten wir die Ableitung nach t durch einen
Strich an, so sind für jeden Verein von oo1 Elementen die folgen-
den Gleichungen identisch erfüllt:
(1) (u x) = 0, (ujc') = O, (w'jc) = O.
Dabei ist (u' x') =^= 0, wenn der Verein weder ein Punkt noch eine
Gerade ist.
Zur Darstellung eines bestimmten Vereines braucht man zwei
Gleichungen zwischen den x und u. Diese müssen voneinander
und von (u x) = 0 unabhängig sein und mit (u x) = 0 zusammen
(1) nach sich ziehen. Für die Kegelschnitte insbesondere kann
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