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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0081
Zur Struktur der Vertauschungsaxiome Vj u. V2.
(Vertauschungs-Calcül)
Von
M.ax Steck in Darmstadt.
§ 1. Einleitung.
Als axiomatische Begründungsträger der Lehre von den Kegel-
schnitten und der ihr voranstehenden wichtigen Lehrsätze des
Desargues, des Pappus-Pascal und des Fundamentalsatzes,
die zusammen den klassischen Jnhalt der synthetischen Geometrie
ausmachen, erwiesen sich neben den einfachen ebenen Ver-
knüpfungsaxiomen1) die durch H. Liebmanns „Synthetische Geo-
metrie“ 2) in deren Bestand neu aufgenommen Vertauschungs-
axiome Vj und V.2.
Die folgende Untersuchung dringt in die innere Struktur von
Vt und V2 ein, indem sie — für Vt explizit — zeigt, daß beide
Axiome einen sog. „Vertauschungs-Calcür ermöglichen derart,
daß mit den unter Vt und V., fallenden „kleinen“ bezw. „großen“
Vertauschungen und lI>\ nach bestimmten Regeln rein formal
operiert und geometrisch „gerechnet“ werden kann. Diese Regeln
(„Rechengesetze“) sind dabei gewisse, unter der Annahme der
Gültigkeit von Vx bezw. V2 bewiesene Invarianzeigenschaften3),
die auffallende Analogien zu den Grundeigenschaften der Per-
spektivität (ZTJ und der — als Folge von n (n = 2,3,...) Per-
spektiven erklärten - Projektivität (77„) als Ausgangslagebe-
ziehungen der Elemente der synthetischen Geometrie aufweisen,
auch zu den Begriffsbildungen der Gruppentheorie Verwandschaft
’) Etwa in der HiLBERT’schen Fassung (Grundl. d. Geom. 7. Aufl.
Leipzig-Berlin 1930, S. 3) I. 1.—I. 6., ergänzt durch I. 9*, I. 10* (vgl. Fußn.2)
S. 4.)
2) Leipzig-Berlin 1934. (Jm Folgenden kurz zitiert mit „L.“ und Angabe
der Seitenzahl), S. 11; S. 14.
:i) Solche fand ich für den Raum bereits in meiner Diss. (Das Zeu-
THEN’sche Postulat und das Prinzip der Vertauschung zur Begründung der
projektiven Geometrie, Heidelberg 1932) S. 34 ff.
68
(Vertauschungs-Calcül)
Von
M.ax Steck in Darmstadt.
§ 1. Einleitung.
Als axiomatische Begründungsträger der Lehre von den Kegel-
schnitten und der ihr voranstehenden wichtigen Lehrsätze des
Desargues, des Pappus-Pascal und des Fundamentalsatzes,
die zusammen den klassischen Jnhalt der synthetischen Geometrie
ausmachen, erwiesen sich neben den einfachen ebenen Ver-
knüpfungsaxiomen1) die durch H. Liebmanns „Synthetische Geo-
metrie“ 2) in deren Bestand neu aufgenommen Vertauschungs-
axiome Vj und V.2.
Die folgende Untersuchung dringt in die innere Struktur von
Vt und V2 ein, indem sie — für Vt explizit — zeigt, daß beide
Axiome einen sog. „Vertauschungs-Calcür ermöglichen derart,
daß mit den unter Vt und V., fallenden „kleinen“ bezw. „großen“
Vertauschungen und lI>\ nach bestimmten Regeln rein formal
operiert und geometrisch „gerechnet“ werden kann. Diese Regeln
(„Rechengesetze“) sind dabei gewisse, unter der Annahme der
Gültigkeit von Vx bezw. V2 bewiesene Invarianzeigenschaften3),
die auffallende Analogien zu den Grundeigenschaften der Per-
spektivität (ZTJ und der — als Folge von n (n = 2,3,...) Per-
spektiven erklärten - Projektivität (77„) als Ausgangslagebe-
ziehungen der Elemente der synthetischen Geometrie aufweisen,
auch zu den Begriffsbildungen der Gruppentheorie Verwandschaft
’) Etwa in der HiLBERT’schen Fassung (Grundl. d. Geom. 7. Aufl.
Leipzig-Berlin 1930, S. 3) I. 1.—I. 6., ergänzt durch I. 9*, I. 10* (vgl. Fußn.2)
S. 4.)
2) Leipzig-Berlin 1934. (Jm Folgenden kurz zitiert mit „L.“ und Angabe
der Seitenzahl), S. 11; S. 14.
:i) Solche fand ich für den Raum bereits in meiner Diss. (Das Zeu-
THEN’sche Postulat und das Prinzip der Vertauschung zur Begründung der
projektiven Geometrie, Heidelberg 1932) S. 34 ff.
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