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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0062
Über die Nichtexistenz von Kontinuen
in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl.
Von
Artur Rosenthal in Heidelberg.
In einer früheren Arbeit* * 3 4) ist auf Grund des Zermeloschen
Wohlordnungssatzes die Existenz von Gebilden mit einziger Ord-
nungszahl 2) nachgewiesen worden, d. h. die Existenz von Mengen
eines «-dimensionalen Raumes Rn (r^n^2), die von
jeder («—l)-dimensionalen Ebene4) in genau r (reellen) Punkten
getroffen werden 5). Auch für allgemeinere Ordnungsbegriffe und
für beliebige (aus unendlich vielen Elementen bestehende) Räume
gilt mit geringen Modifikationen 6) jener Existenzbeweis 7).
In der genannten Arbeit8) ist ferner gezeigt worden, daß ein
ebenes 5TQ,. (« = 2) kein Teilkontinuum enthalten kann, falls r — 2
ist, daß dagegen Teilkontinua auftreten können (die sogar in ge-
wissem Umfang vorgeschrieben werden dürfen), falls r 4 ist.
In der vorliegenden Mitteilung soll zunächst der damals nicht be-
handelte Fall n = 2, r = 3, für den ebenfalls Teilkontinua aus-
geschlossen sind, nachgetragen werden; insbesondere aber soll
die entsprechende Frage für die des 3- und 4-dimensionalen
Ö A. Rosenthal, Sitzungsberichte Bayr. Akad., math.-phys. Kl. 1922
S. 221—240.
b Das damals verwendete Wort „Ordnungsindex“ wird hier besser
durch „Ordnungszahl“ ersetzt (weil vielfach das Minimum der Ordnungs-
zahlen als „Index“ bezeichnet wird).
3) Im folgenden bezeichne TQr stets eine Menge mit einziger Ord-
nungszahl r.
4) Darunter werde für n = 2 eine Gerade verstanden.
5) Wie ich aus einer Bemerkung von W. Sierpinski, Fundamenta
math. 4 (1923), S. 369, nachträglich ersehen habe, war für den Fall r=n — 2
bereits früher in einer (polnischen) Note von St. Mazurkiewicz, C. R. soc.
sc. Varsovie 7 (1914), classe III, S. 382—384, der Existenzbeweis erbracht
worden.
°) a. a. 0. b, insbes. S. 224—226.
') Alle diese Gebilde lassen sich übrigens in gewissem Sinne als Ver-
allgemeinerungen der als „finite Geometrien“ bezeichneten endlichen
Konfigurationen auffassen. Siehe hierüber H. Liebmann, Synthetische Geo-
metrie (Leipzig-Berlin 1934), S. 7—8.
8) a. a. O.1), S. 229—232.
49
in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl.
Von
Artur Rosenthal in Heidelberg.
In einer früheren Arbeit* * 3 4) ist auf Grund des Zermeloschen
Wohlordnungssatzes die Existenz von Gebilden mit einziger Ord-
nungszahl 2) nachgewiesen worden, d. h. die Existenz von Mengen
eines «-dimensionalen Raumes Rn (r^n^2), die von
jeder («—l)-dimensionalen Ebene4) in genau r (reellen) Punkten
getroffen werden 5). Auch für allgemeinere Ordnungsbegriffe und
für beliebige (aus unendlich vielen Elementen bestehende) Räume
gilt mit geringen Modifikationen 6) jener Existenzbeweis 7).
In der genannten Arbeit8) ist ferner gezeigt worden, daß ein
ebenes 5TQ,. (« = 2) kein Teilkontinuum enthalten kann, falls r — 2
ist, daß dagegen Teilkontinua auftreten können (die sogar in ge-
wissem Umfang vorgeschrieben werden dürfen), falls r 4 ist.
In der vorliegenden Mitteilung soll zunächst der damals nicht be-
handelte Fall n = 2, r = 3, für den ebenfalls Teilkontinua aus-
geschlossen sind, nachgetragen werden; insbesondere aber soll
die entsprechende Frage für die des 3- und 4-dimensionalen
Ö A. Rosenthal, Sitzungsberichte Bayr. Akad., math.-phys. Kl. 1922
S. 221—240.
b Das damals verwendete Wort „Ordnungsindex“ wird hier besser
durch „Ordnungszahl“ ersetzt (weil vielfach das Minimum der Ordnungs-
zahlen als „Index“ bezeichnet wird).
3) Im folgenden bezeichne TQr stets eine Menge mit einziger Ord-
nungszahl r.
4) Darunter werde für n = 2 eine Gerade verstanden.
5) Wie ich aus einer Bemerkung von W. Sierpinski, Fundamenta
math. 4 (1923), S. 369, nachträglich ersehen habe, war für den Fall r=n — 2
bereits früher in einer (polnischen) Note von St. Mazurkiewicz, C. R. soc.
sc. Varsovie 7 (1914), classe III, S. 382—384, der Existenzbeweis erbracht
worden.
°) a. a. 0. b, insbes. S. 224—226.
') Alle diese Gebilde lassen sich übrigens in gewissem Sinne als Ver-
allgemeinerungen der als „finite Geometrien“ bezeichneten endlichen
Konfigurationen auffassen. Siehe hierüber H. Liebmann, Synthetische Geo-
metrie (Leipzig-Berlin 1934), S. 7—8.
8) a. a. O.1), S. 229—232.
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