Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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G. Kowalewski: Über räumliche Affinzykloiden
Daher ist mit Rücksicht auf (cz b c) = 1
(3) W1’ (h'2 83 ' 82 93) = H'2 ^3 ’ ^2 Ui •
Man sieht, daß nur solche Kurvenelemente affinäquivalent sein
können, bei denen die Determinante y.2 z3 — z2 y3 dasselbe Zeichen
hat. Es gibt also, wenn von dem Fall y2z3 — z2y3 = 0 abgesehen
wird, zwei Arten von Kurvenelementen vierter Ordnung, solche
mit positivem und solche mit negativem y2 z3 — z2 y3. Jedes Kurven-
element der ersten Art ist äquivalent mit
/ \ I X I # M #1 K I #2 I ?2 1^3 I^IZ/4^4
I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 1 I 0 I 0 I 1 I 0 I 0 ’
jedes Kurvenelement der zweiten Art mit

X
1 y% \zi\y3\z3\y4;
*4
0
0 0 0 0 -l|0 0 1 0
0

Es genügt, die erste Aussage zu beweisen. Die Größen 11, ty, u2, u3
reduzieren sich für e0 auf cy, b2, clt 0, ebenso v, ty, u2, u3 auf
cy, b2, c2,0 und icyuy, w2, w3 auf cy, b3, c3,0. Aus (3) wird
^1° 0?2 83 82 V3) = 1 •
Da t>283 — 82 V3 positiv sein soll, ergeben sich für cy zwei reelle Werte,
_ 1
°h = i (V2 83 82 ^3) 6 •
Hat man sich für einen dieser Werte entschieden, so liefern die
beiden letzten Gleichungen (2Z), die nun
h-t «i4 + 6 V3 <A2 +1)2 (3 öt2 -|- 4 cy cx) = 0,
84 ai4 “F 6 83 ßi2 “F 82 (3 bx - -p 4 cz1 q) = 0
lauten, br und 3b12-|-4«1c1, also b2 und q. Die vier ersten Glei-
chungen (2Z) geben ebenso eindeutig c2, c3, und ö2, b3. Aus (2) er-
halten wir schließlich cy und cy, aus (1) d2, d.2, d3.
Es gibt also im Falle t)2 g3 — §2t)3 > 0 zwei Affinitäten, die e0
in f, h, 8, Vi> 81, t>2, 82- 83, 84 oder e überführen. Ist (1) die
eine, so lautet die andere
X = — a1x-\-b1y — c1z-\-d1,
V = — cyx-\-b2y — c2zJrd2,
8 = — a3x-}-b3y — q z -j-d3.
Man erhält sie dadurch, daß man zuerst die Affinität
x' = — x,y' = y ,z' = — z

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