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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0034
Über räumliche Affinzykloiden
6
Außer ds,I,J brauchen wir noch die Relativkoordinaten u,u, w
eines Punktes X, p, 3 inbezug auf das Kurvenelemente. Sie sind
Invarianten von Punkt und Kurvenelement und derart wählbar,
daß sie sich für e = e0 in?, ß, 3 verwandeln. Wenn man das Ele-
ment e längs einer Kurve variieren läßt, während der Punkt X, f), 3
festbleibt, so sind u,u,io Funktionen des längs der Kurve ge-
rechneten Affinbogens s. Diese Funktionen erfüllen gewisse Diffe-
rentialgleichungen, die das Hauptwerkzeug der natürlichen Geo-
metrie im Sinne Cesüros und Picks bilden und von Pick als
Identitätsbedingungen bezeichnet werden. Man kann sie
unter Verwendung einer willkürlichen Funktion f(u, v, tc) in eine
einzige Formel zusammenfassen, die so lautet:
(6) ^s = UJ+IUtf+JUsf.
Hierbei sind
UJ, U.2f, U.f
drei infinitesimale Transformationen unserer Gruppe, geschrieben
in u, u, w. Nach einem von mir angegebenen Verfahren läßt sich
die Identitätsformel (6) direkt aufstellen, ohne daß man die
Fundamentalgrößen cis, I ,J,u,v,w überhaupt zu berechnen braucht.
Zwischen u, u, w, und X, V, 3 besteht nämlich die Beziehung
(7) (H,u,m) = (x,^,3)T®0.
Ebenso gilt
(8) (u + du, + r®°+de,
und es folgt nun aus (7) und (8)
(u-\-du, u-\-dv, w-\-dio) = (ü, v, 16) Tpp„ Tee\dp.
Das ist bereits die Identitätsformel. Um sie auf die Form (6) zu
bringen, bemerke man, daß die hier auftretende infinitesimale
Transformation ungeändert bleibt, wenn man e und e + rfe einer
und derselben Affinität S unterwirft, so daß also
ist. Es folgt
dann sofort
Man kann S insbesondere derart wählen, daß e mit e0 zusammen-
fällt. Dann wird
(9)
21
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Außer ds,I,J brauchen wir noch die Relativkoordinaten u,u, w
eines Punktes X, p, 3 inbezug auf das Kurvenelemente. Sie sind
Invarianten von Punkt und Kurvenelement und derart wählbar,
daß sie sich für e = e0 in?, ß, 3 verwandeln. Wenn man das Ele-
ment e längs einer Kurve variieren läßt, während der Punkt X, f), 3
festbleibt, so sind u,u,io Funktionen des längs der Kurve ge-
rechneten Affinbogens s. Diese Funktionen erfüllen gewisse Diffe-
rentialgleichungen, die das Hauptwerkzeug der natürlichen Geo-
metrie im Sinne Cesüros und Picks bilden und von Pick als
Identitätsbedingungen bezeichnet werden. Man kann sie
unter Verwendung einer willkürlichen Funktion f(u, v, tc) in eine
einzige Formel zusammenfassen, die so lautet:
(6) ^s = UJ+IUtf+JUsf.
Hierbei sind
UJ, U.2f, U.f
drei infinitesimale Transformationen unserer Gruppe, geschrieben
in u, u, w. Nach einem von mir angegebenen Verfahren läßt sich
die Identitätsformel (6) direkt aufstellen, ohne daß man die
Fundamentalgrößen cis, I ,J,u,v,w überhaupt zu berechnen braucht.
Zwischen u, u, w, und X, V, 3 besteht nämlich die Beziehung
(7) (H,u,m) = (x,^,3)T®0.
Ebenso gilt
(8) (u + du, + r®°+de,
und es folgt nun aus (7) und (8)
(u-\-du, u-\-dv, w-\-dio) = (ü, v, 16) Tpp„ Tee\dp.
Das ist bereits die Identitätsformel. Um sie auf die Form (6) zu
bringen, bemerke man, daß die hier auftretende infinitesimale
Transformation ungeändert bleibt, wenn man e und e + rfe einer
und derselben Affinität S unterwirft, so daß also
ist. Es folgt
dann sofort
Man kann S insbesondere derart wählen, daß e mit e0 zusammen-
fällt. Dann wird
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