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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0035
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G. Kowalewski
Wenn wir die Koordinaten von e0 mit
yO j rO p/0 7/0 O* 0 7/ 0 y 0 7/0 y 0 7/0
> U ’ y l , ^1 , £/•> , ^2 > <73 ’ .3 > .74 > 4
bezeichnen, so lauten die von e0-\-de0
xQ-\-ds,y°+ z/i0ds,z°-\-z^ds,y^z/2°ds, z^-^z2°ds,
y2° + Z/3°> ^2° + ^3° > Z/3° + ZAi°ds, z3° + z4° ds, z/4° + Ids, z^ + Jds.
Da nämlich e0 und e0-\-de0 aus e und e-\-de durch S hervorgehen,
so müssen ds,I,J bei beiden Elementpaaren übereinstimmende
Werte haben, d. h. es muß
dxQ = ds, y5° = I, z5° = J
sein. Die Transformation (9) erteilt als Umkehrung von T Cle°
den Koordinaten von e0 folgende Inkremente
— ds,0,0, —ds,ö,0, —ds, 0,0, — Ids, —Jds.
Dabei haben wir die Zahlenwerte der Koordinaten von e0 berück-
sichtigt, wie sie früher angegeben wurden. Hierdurch ist nun die
Transformation (9) vollkommen bestimmt und läßt sich mit Hilfe
des LiEschen Erweiterungsverfahrens leicht errechnen. Die auf
solche Weise gewonnene Identitätsformel (6) lautet
Mit Hilfe der Identitätsformel läßt sich das wichtige Problem
lösen, eine Kurve aus ihren natürlichen Gleichungen
/ = /(<?),</ = J(s)
zu bestimmen. Will man z. B. alle Kurven ermitteln, die durch e0
hindurchgehen und Bahnkurven der Affingruppe sind, so muß man
I und J konstant setzen, etwa / = 4a, J = 6 ß, und hat dann die
Differentialgleichungen
(10)
(ill . I Z> I
- — — 1 , ö l) - - cc IU,
ds
du
ds
= — u 3 ß w,
unter Zugrundelegung der Anfangswerte X,V,3 zu integrieren.
Das Ergebnis dieser Integration ist die Relation (7), wobei e das
an der Stelle s liegende Kurvenelement vierter Ordnung bedeutet.
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G. Kowalewski
Wenn wir die Koordinaten von e0 mit
yO j rO p/0 7/0 O* 0 7/ 0 y 0 7/0 y 0 7/0
> U ’ y l , ^1 , £/•> , ^2 > <73 ’ .3 > .74 > 4
bezeichnen, so lauten die von e0-\-de0
xQ-\-ds,y°+ z/i0ds,z°-\-z^ds,y^z/2°ds, z^-^z2°ds,
y2° + Z/3°> ^2° + ^3° > Z/3° + ZAi°ds, z3° + z4° ds, z/4° + Ids, z^ + Jds.
Da nämlich e0 und e0-\-de0 aus e und e-\-de durch S hervorgehen,
so müssen ds,I,J bei beiden Elementpaaren übereinstimmende
Werte haben, d. h. es muß
dxQ = ds, y5° = I, z5° = J
sein. Die Transformation (9) erteilt als Umkehrung von T Cle°
den Koordinaten von e0 folgende Inkremente
— ds,0,0, —ds,ö,0, —ds, 0,0, — Ids, —Jds.
Dabei haben wir die Zahlenwerte der Koordinaten von e0 berück-
sichtigt, wie sie früher angegeben wurden. Hierdurch ist nun die
Transformation (9) vollkommen bestimmt und läßt sich mit Hilfe
des LiEschen Erweiterungsverfahrens leicht errechnen. Die auf
solche Weise gewonnene Identitätsformel (6) lautet
Mit Hilfe der Identitätsformel läßt sich das wichtige Problem
lösen, eine Kurve aus ihren natürlichen Gleichungen
/ = /(<?),</ = J(s)
zu bestimmen. Will man z. B. alle Kurven ermitteln, die durch e0
hindurchgehen und Bahnkurven der Affingruppe sind, so muß man
I und J konstant setzen, etwa / = 4a, J = 6 ß, und hat dann die
Differentialgleichungen
(10)
(ill . I Z> I
- — — 1 , ö l) - - cc IU,
ds
du
ds
= — u 3 ß w,
unter Zugrundelegung der Anfangswerte X,V,3 zu integrieren.
Das Ergebnis dieser Integration ist die Relation (7), wobei e das
an der Stelle s liegende Kurvenelement vierter Ordnung bedeutet.
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