Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : Behandlung einer partiellen Differenzen

konstant ist, einige Aussagen über die Lage des Spektrums, d. i.
die Menge der Eigenwerte, gemacht. Die beim Konvergenzbeweis
benutzte Methode ist von derjenigen der Herren Liebmann, Wolf
und Courant verschieden.
§1-
Das Gitter und Gitterbereiche.
Die Systeme paralleler äquidistanter Geraden
(*) x = ih (z = 0, 1,2,..), y = kh (k = 0,1,2,..)
bilden in der Ebene eines rechtwinkligen (x, z/)-Koordinatensyste-
mes ein Netz mit quadratischen Maschen. Die Schnittpunkte der
Geraden nennen wir Gitterpunkte, die positive Zahl h die Maschen-
weite des Gitters. Nachbarpunkte eines Gitterpunktes (x,z/) sind
die vier Gitterpunkte (x-|-h,y), (x,y-\-h), (x— h, y) und (x, y—h).
Wir betrachten in der (x,z/)-Ebene Gebiete 33, die sich nur
aus ganzen Maschen des Netzes zusammensetzen, deren Rand 9i
also aus einem oder mehreren Polygonzügen besteht, deren Seiten
auf den Geraden (*) liegen. Die Menge aller im Inneren von 93
liegenden Gitterpunkte heißt der Gitterbereich 93*, die Menge der
auf 91 liegenden Gitterpunkte der Gitterrand 9Li: von 93*.
Gitterfunktionen sind solche Funktionen, die wenigstens in den
Punkten eines Gitterbereiches definiert sind.
§2.
Die erste Randwertaufgabe für die Differenzengleichung
A zz(x,z/) + 2(x,z/) u (x,z/) = 0.
(D
Allgemeines über ihre Lösung.
1. Der Operator A, der dem Laplaceschen Operator der Dif-
(,2)
ferentialrechnung entspricht, wird folgendermaßen definiert:
A u(x,y) = zz(x+/2,z/)+zz(x,z/-[-/z)+zz(x—/?,z/)+zz(x,z/ —/?)—4zz(x,z/)
(Zi) ' /U L
oder wenn die Abkürzung
(i) l[u (x, ,z/)j=zz (x+/?, z/)+«(*> y+/0+«+11 (x’ y—ty
eingeführt wird:
A u (x, z/) = L [zz (x , z/)J — 4 zz (x, z/) •
(Zi) /UL -I

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