Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: Behandlung einer partiellen Differenzen-

3. Denkt man sich die Punkte von 53* irgendwie nummeriert,
die Werte der Funktionen zz(x,z/) und 2(x,zy) im z-ten Punkt mit
zzz, bezw. 2. bezeichnet und für jeden Punkt die Gleichungen (3)
aufgeschrieben, so entsteht ein System von so vielen linearen
Gleichungen in den Unbekannten zzz, als der Bereich 55* Punkte
enthält; die zu Randpunkten gehörigen Werte zz(jc,z/) sind bekannt;
wir denken sie uns auf der rechten Seite jeder Gleichung zu einer
Zahl c. vereinigt. Dann ist das System homogen, wenn alle Rand-
werte Null sind 3). Jede Gleichung enthält höchstens fünf der Un-
bekannten. Da die Eigenschaft, Nachbarpunkt eines anderen Punktes
zu sein, symmetrisch in den Punkten ist, ist das Gleichungssystem
auch symmetrisch: Ist der z-te Punkt Nachbarpunkt des /c-ten, so
hat in der z-ten Gleichung die Unbekannte zzfc, in der /c-ten Glei-
chung die Unbekannte zzz den Faktor 1. Ist aber der z-te Punkt
nicht Nachbarpunkt des /c-ten, so hat in der z-ten Gleichung die
Unbekannte zzA., in der /c-ten Gleichung die Unbekannte ui den
Faktor 0.
Es sei 53* beschränkt und N die Anzahl der Punkte von 53*.
Dann können wir die Determinante Z) (2X, , ÄN) dieses linea¬
ren Gleichungssystemes bilden; sie ist symmetrisch; in der Haupt-
diagonalen stehen die Elemente /z22.— 4, die übrigen Elemente
sind 0 oder 1. Wenn alle 2Z 5S 0 sind, d. h. z(x, z/) <> 0 ist, ist diese
Determinante gewiß von Null verschieden; denn wäre sie gleich
Null, so hätte das Gleichungssystem, wenn alle Randwerte gleich
Null, d. h. alle Gleichungen homogen sind, eine nicht-triviale Auf-
lösung, was nach Nr. 2 aber nicht der Fall ist. Weil die Deter-
minante für nicht positives 2(x,z/) ungleich Null ist, ist somit das
Gleichungssystem, d. h. die Randwertaufgabe, falls 2(v,z/)^0,
stets lösbar.
4. Nimmt 4(x,zy) auch positive Werte an, so kann
ZJ (4.J,X,,.., 3^,)
verschwinden und daher die Randwertaufgabe nur bei spezieller
Wahl der Randwerte lösbar sein. Insbesondere interessiert hier
der Fall, daß Z(x,z/) eine Konstante 2 ist, also alle Ai gleich Z sind;
ist 2 eine Lösung der Gleichung
D(2) = D(4,^,...,4) = 0,
3) Aber nicht nur in diesem Fall.

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